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有'''双重根号'''的[[表示式]]在根号下还有根号，如：<math>\sqrt[5]{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}</math>在5次根号下有3个2次根号项。

如果m次根号内的表示式是由一个含根号的多项式自乘m次得来的，都可以化简。

==公式==
a<sup>2</sup>-b为[[平方数]]时就可以化简<math>\sqrt{a\pm\sqrt{b}}</math>。

<math>\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{\sqrt{2}}</math>

例如：<math> \sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}</math>

==配方法==
<math>\sqrt{1+2\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}}=\sqrt{(1+\sqrt[5]{2})^2}=1+\sqrt[5]{2}</math>

<math>\sqrt[3]{5-12\sqrt[3]{3}+6\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{(2)^3-3(2)^2\sqrt[3]{3}+3(2)\sqrt[3]{9}-3}=2-\sqrt[3]{3}</math>

==增乘法==
对于<math>\sqrt[m]{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}</math>，设<math>x_1=\sqrt[m]{\sqrt{a}+\sqrt{b}},x_2=\sqrt[m]{\sqrt{a}-\sqrt{b}}</math>

找x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>时需要用到<math>x_1^m+x_2^m=\sum_{r=0}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}\frac{mC_{m-r}^{r}}{m-r}(x_1+x_2)^{m-2r}(-x_1 x_2)^r</math><ref>{{cite journal|author=何万程|year=2011|journal=数学空间|issue=6|title=二次根式开方的化简|url=http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj6/sxkj6ts/201109/t20110920_1069742.htm|access-date=2014-01-07|archive-date=2014-01-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20140107102616/http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj6/sxkj6ts/201109/t20110920_1069742.htm|dead-url=no}}</ref>

<math>x=\frac{x_1+x_2\pm\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2}}{2}</math>

<math>\sqrt[3]{\sqrt{27}-\sqrt{28}}</math>

:<math>x_1 x_2=\sqrt[3]{27-28}=-1</math>

:<math>(x_1+x_2)^3+3(x_1+x_2)=6\sqrt{3},x_1+x_2=\sqrt{3}u,3u^3+3u=6,u=1,x_1+x_2=\sqrt{3}</math>

:<math>\sqrt[3]{\sqrt{27}-\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}</math>

对于<math>\sqrt[m]{k_1\pm k_2\sqrt{a}\pm k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}}</math>，设<math>x_1=\sqrt[m]{k_1+k_2\sqrt{a}+k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}},x_2=\sqrt[m]{k_1-k_2\sqrt{a}-k_3\sqrt{b}+k_4\sqrt{ab}}</math>

<math>\sqrt{15+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}</math>

:<math>x_1 x_2=\sqrt{49+20\sqrt{6}}=5+2\sqrt{6}</math>

:<math>x_1+x_2=\sqrt{40+16\sqrt{6}}=4+2\sqrt{6}</math>

:<math>\sqrt{15+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}=\frac{4+2\sqrt{6}+\sqrt{20+8\sqrt{6}}}{2}=2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}</math>

<math>\sqrt[3]{55+\frac{81}{2}\sqrt{2}+33\sqrt{3}+\frac{45}{2}\sqrt{6}}</math>

:<math>x_1 x_2=-\sqrt[3]{485+198\sqrt{6}}=-5-2\sqrt{6}</math>

:<math>(x_1+x_2)^3+3(5+2\sqrt{6})(x_1+x_2)=5(22+9\sqrt{6}),(22-9\sqrt{6})(x_1+x_2)^3+3(2-\sqrt{6})(x_1+x_2)=-10,x_1+x_2=(2+\sqrt{6})u</math>

:<math>-4u^3-6u=-10,u=1,x_1+x_2=2+\sqrt{6}</math>

:<math>\sqrt[3]{55+\frac{81}{2}\sqrt{2}+33\sqrt{3}+\frac{45}{2}\sqrt{6}}=\frac{2+\sqrt{6}+\sqrt{30+12\sqrt{6}}}{2}=\frac{2+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}</math>

==参考资料==
<references/>

==参见==
*[[等幂求和]]
*[[開根號]]
*[[四則運算]]

[[分类:初等代数]]