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[[Image:Bilininterp.png|right|thumb|单位矩形的四个角的''z''值分别是0、1、1、0.5，如果将坐标解释为颜色，整个单位矩形上的双线性插值结果如图。]]
'''雙線性插值'''，又稱為'''雙線性內插'''。在[[数学]]上，'''双线性插值'''是对[[线性插值]]在二维[[直角坐标系|直角网格]]上的扩展，用于对双变量函数（例如 ''x'' 和 ''y''）进行[[插值]]。其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

== 算法 ==
[[File:Bilinear_interpolation.png|right|thumb|红色的数据点与待插值得到的绿色点]]

假如我们想得到未知函数 ''f'' 在点 <math>P=\left( x, y\right)</math> 的值，假设我们已知函数 ''f'' 在 <math>Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right) </math>, <math>Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right) </math>, <math>Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right) </math>, 及 <math>Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right) </math> 四个点的值。 

首先在 ''x'' 方向进行线性插值，得到
:<math>\begin{align}
f(x, y_1) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}), \\
f(x, y_2) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}).
\end{align}</math>

然后在 ''y'' 方向进行线性插值，得到 
:<math>\begin{align}
f(x,y) &\approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(x, y_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(x, y_2) \\
&= \frac{y_2-y}{y_2-y_1} \left ( \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \right ) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \left ( \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \right ) \\
&= \frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} \big( f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y) + f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y)+  f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1) + f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1) \big)\\
&=\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}  \begin{bmatrix} x_2-x & x-x_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(Q_{11}) & f(Q_{12}) \\ f(Q_{21})& f(Q_{22}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
y_2-y \\ y-y_1 \end{bmatrix}.
\end{align}</math>

注意此处如果先在 ''y'' 方向插值、再在 ''x'' 方向插值，其结果与按照上述顺序双线性插值的结果是一样的。

=== 单位正方形 ===

如果选择一个坐标系统使得 ''f'' 的四个已知点坐标分别为 (0,&nbsp;0)、(0,&nbsp;1)、(1,&nbsp;0) 和 (1,&nbsp;1)，那么插值公式就可以化简为 
:<math> f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy. </math>

或者用[[矩阵]]运算表示为

:<math> f(x,y) \approx \begin{bmatrix}
1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
f(0,0) & f(0,1) \\
f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1-y \\
y \end{bmatrix}</math>

=== 非线性 ===

顾名思义，双线性插值的结果不是线性的，它是两个[[线性函数]]的积。在单位正方形上，双线性插值可以记作
:<math> f(x,y) = \sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 a_{ij} x^i y^j = a_{00} + a_{10} x + a_{01} y + a_{11} x y</math>

常数的数目（四）对应于给定的 ''f'' 的数据点数目
:<math> a_{00} = f(0,0),</math>
:<math> a_{10} = f(1,0)-f(0,0),</math>
:<math> a_{01} = f(0,1)-f(0,0),</math>
:<math> a_{11} = f(1,1)+f(0,0)-\big(f(1,0)+f(0,1)\big).</math>

双线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 ''y'' 方向的插值，然后进行 ''x'' 方向的插值，所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是[[三线性插值]]。

== 在图像处理领域的应用 ==

[[File:Bilin3.png|right|thumb|对灰度值进行双线性插值]]

在[[计算机视觉]]及[[图像处理]]领域，双线性插值是一种基本的[[图像缩放|重采样]]技术。

[[材质贴图]]中，双线性插值也叫[[双线性过滤]]或者'''双线性材质贴图'''。图像的双线性插值放大算法中，目标图像中新创造的象素值，是由源图像位置在它附近的2*2区域4个邻近象素的值通过加权平均计算得出的。双线性内插值算法放大后的图像质量较高，不会出现像素值不连续的的情况。然而此算法具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。

==参见==
*[[双三次插值]]
*[[样条插值]]
*[[Lanczos resampling]]

[[Category:插值论]]