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[[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|296px|right|射線出原點交單位雙曲線<math>x^2-y^2=1</math>於點<math>(\cosh a, \sinh a)</math>，這裡的<math>a</math>是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值]]
{{函數圖形|title=雙曲函數示意圖|start=-2|end=2|sampling=200|width=200|height=400
|sinh(x)|cosh(x)|tanh(x)|sech(x)
|caption=幾個雙曲函數的圖形。}}
在[[数学]]中，'''双曲函数'''是一类与常见的[[三角函数]]（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是'''[[雙曲正弦]]'''函数<math>\sinh</math>和'''[[雙曲餘弦]]'''函数<math>\cosh</math>，从它们可以导出'''双曲正切'''函数<math>\tanh</math>等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为[[反双曲函数]]。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做[[双曲角]]。双曲函数出现于某些重要的线性[[微分方程]]的解中，譬如說定义[[悬链线]]和[[拉普拉斯方程]]。

==基本定义==
[[File:sinh cosh tanh.svg|256px|thumb|<span style="color:#b30000;">sinh</span>、<span style="color:#00b300;">cosh</span>和<span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[File:csch sech coth.svg|256px|thumb|<span style="color:#b30000;">csch</span>、<span style="color:#00b300;">sech</span>和<span style="color:#0000b3;">coth</span>]]
最簡單的幾種雙曲函數為<ref name=":1">{{Cite mathworld|title=Hyperbolic Functions|urlname=HyperbolicFunctions|access-date=2020-08-29|language=en|archive-date=2022-05-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220521092034/https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html}}</ref>：
*[[雙曲正弦]]：
*:<math>\sinh x = \frac{e^x  - e^{ - x} }{2}</math>
*[[雙曲餘弦]]：
*:<math>\cosh x = \frac{e^x  + e^{ - x} }{2}</math>
*[[雙曲正切]]：
*:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.</math>
*[[雙曲餘切]]：當<math>x\neq 0</math>
*:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
= \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.</math>
*[[雙曲正割]]：
*:<math> \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.</math>
*[[雙曲餘割]]：當<math>x\neq 0</math>
*:<math> \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.</math>

函数<math>\cosh x</math>是关于y轴对称的[[偶函数]]。函数<math>\sinh x</math>是[[奇函数]]。

如同当<math>t </math>遍历[[实数集]]<math> \mathbb{R}</math>时，点（<math>\cos t</math>, <math>\sin t</math>）的轨迹是一个[[圆]]<math>x^2 + y^2 = 1</math>一样，当<math>t </math>遍历实数集<math> \mathbb{R}</math>时，点（<math>\cosh t</math>, <math>\sinh t</math>）的轨迹是[[單位雙曲線]]<math>x^2 - y^2 = 1</math>的右半边。这是因为有以下的恒等式：
:<math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math>
参数''t''不是圆[[角]]而是[[双曲角]]，它表示在''x''轴和连接原点和双曲线上的点（<math>\cosh t</math>, <math>\sinh t</math>）的直线之间的面积的两倍。

==歷史==
[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|right|250px|thumb|在[[直角雙曲線]]（方程<math>y = {1 \over x}</math>）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於[[雙曲角]]''u''的[[雙曲線扇形]]（紅色）。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]
在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]引入雙曲函數<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59|url=http://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59|quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算了[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99|url=http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99|quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.|accessdate=2014-03-27|archive-date=2014-01-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20140112001533/http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99|dead-url=no}}</ref>。[[自然對數]]函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy = 1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y = x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以[[自然對數]]即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。

通過旋轉和縮小[[線性變換]]，得到[[單位雙曲線]]下的情況，有：
*<math>\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}</math>
*<math>\sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}</math>
[[單位雙曲線]]中雙曲線扇形的面積是對應[[直角雙曲線]]<math>xy = 1</math>下雙曲角的<math>{1 \over 2}</math>。

==虛數圓角定義==
[[雙曲角]]經常定義得如同[[虛數]][[單位圓|圓角]]。實際上，如果<math>x</math>是實數而<math>i ^ 2 = -1</math>，則
:<math> \cos(i x) = \cosh(x), \quad </math> <math> -i \sin(i x) = \sinh(x).</math>
所以雙曲函數<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>可以通過[[三角函數|圓函數]]來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以[[無窮級數]]的方式來理解。特別是，可以將[[指數函數]]表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成<math>\cosh</math>函數，後者形成了<math>\sinh</math>函數。<math>\cos</math>函數的無窮級數可從<math>\cosh</math>得出，通過把它變為[[交錯級數]]，而<math>\sin</math>函數可來自將<math>\sinh</math>變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數<math>i</math>，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子<math>(-1)^n</math>，來恢復為指數函數的那兩部份級數。
:<math> e^x = \cosh x + \sinh x\! </math>
:<math>\begin{array}{lcl}
\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{array}
</math>

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：
* [[雙曲正弦]]：<ref name=":1" />
*:<math>\sinh x = -i \sin (i x) \!</math>
* [[雙曲餘弦]]：<ref name=":1" />
*:<math>\cosh x = \cos (i x) \!</math>
* 雙曲正切：
*:<math>\tanh x = -i \tan (i x) \!</math>
* 雙曲餘切：
*:<math>\coth x = i \cot (i x) \!</math>
* 雙曲正割：
*:<math> \operatorname{sech} x = \sec (i x) \!</math>
* 雙曲餘割：
*:<math>\operatorname{csch} x = i \csc (i x) \!</math>
這些[[复数 (数学)|複數]]形式的定義得出自[[歐拉公式]]。

==與三角函數的類比==
[[奧古斯都·德·摩根]]在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓[[三角學]]擴展到了[[雙曲線]]<ref>[[Augustus De Morgan]] (1849) [http://books.google.com/books?id=7UwEAAAAQAAJ Trigonometry and Double Algebra] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=7UwEAAAAQAAJ |date=20140819012653 }}, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"</ref>。[[威廉·金頓·克利福德]]在1878年使用雙曲角來[[參數方程|參數化]][[單位雙曲線]]。
{|
|-
|[[File:Hyperbola-trig.svg|400x268px|雙曲函數]]
||[[File:Circle-trig.svg|400x268px|三角函數]]
|}
給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的[[量值]]（雙曲扇形[[面積]][[除以]][[半徑]]）得到雙曲函數，角<math>\alpha</math>得到[[三角函數]]。在[[單位圓]]和[[單位雙曲線]]上，双曲函数与[[三角函数]]有如下的关係:
*[[正弦]]同樣是從[[x軸]]到[[曲線]]的半[[弦 (幾何)|弦]]。
*[[餘弦]]同樣是從[[y軸]]到[[曲線]]的半[[弦 (幾何)|弦]]（圖中的[[餘弦]]是[[長方形]]的另一條[[邊 (幾何)|邊]]）。
*[[正切]]同樣是過[[x軸]]上[[單位點]]（1,0）在曲線上的[[切線]]到終邊的長度。
*[[餘切]]同樣是從[[y軸]]與過終邊和曲線[[交點]]的[[切線]]與[[y軸]]的交點和曲線連線之[[長度]]。
*[[正割]]同樣是在一個有[[正切]]和[[單位長]]的[[直角三角形]]上，但邊不一樣。
*[[餘割]]同樣是[[y軸]]與過終邊和曲線[[交點]]的[[切線]]與[[y軸]]的交點和[[原點]]之[[距離]]。
*角的[[量值]]可以從0到無限大，但<math>\alpha</math>實際上只會介於<math>0</math>到<math>2\pi</math>（[[360]][[度 (角)|度]]）之間，其餘是<math>\alpha</math>的[[同界角]]，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的[[量值]]可以從<math>0</math>到無限大，但<math>\alpha</math>實際上不會超過<math>\frac{\pi}{4}</math>（[[45]][[度 (角)|度]]），故無法如三角函數一樣有周期性。

==恆等式==
{{main|雙曲函數恆等式}}
与双曲函数有关的[[恆等式]]如下:
:<math>\begin{align}
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\
1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2x \\
\operatorname{coth}^2x - 1 = \operatorname{csch}^2x \\
\end{align}</math>

*加法公式：
:<math>\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y</math>
:<math>\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y</math>
:<math>\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}</math>

*二倍角公式：
:<math>\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x</math>
:<math>\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1</math>
:<math>\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh ^2 x}</math>

* 和差化積：
<math>\begin{align}
 \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
 \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}</math>

*半角公式：
:<math>\sinh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2}</math>
:<math>\cosh\frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{\cosh x + 1}{2} }</math>
:<math>\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}</math>
:其中 {{math|sgn}} 為[[符號函數]]。 
:若 {{Math|''x'' ≠ 0}}，則： 
:<math>\tanh \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x- \operatorname{csch} x</math> 
:

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個<math>\sinh</math>的積的项（包括<math>\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y</math>）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式<ref>G. Osborn, [http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5572(190207)2%3A2%3A34%3C189%3A1MFHF%3E2.0.CO%3B2-Z Mnemonic for hyperbolic formulae]{{Dead link}}, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902</ref>。如
*三倍角公式：
:三角函数的三倍角公式为：
:<math>\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x </math>
:<math>\cos 3x\ = -3 \cos x + 4 \cos^3 x </math>
:而对应的双曲函数三倍角公式则是：
:<math>\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x </math>
:<math>\cosh 3x\ = -3 \cosh x + 4 \cosh^3 x </math>
*差角公式：
:<math>\begin{align}
 \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
 \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
 \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

==双曲函数的導數==
<math>\begin{align}
 \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
 \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
 \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\
 \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
 \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
 \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0
\end{align}</math>

==双曲函数的泰勒展開式==
雙曲函數也可以以[[泰勒級數]]展開:

:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math>（[[罗朗级数]]）

:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math>（[[罗朗级数]]）

其中

:<math>B_n</math>是第<math>n</math>項[[伯努利數]]
:<math>E_n</math>是第<math>n</math>項[[欧拉數]]

== 無限積與連續分數形式 ==
下列的擴展在整個複數平面上成立：
:<math>\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) =
\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 -
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 -
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}}
</math>

:<math>\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}</math>

:<math>\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}</math>

==双曲函数的积分==
: <math>\int\sinh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\cosh cx + C</math>
: <math>\int\cosh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\sinh cx + C</math>
: <math>\int \tanh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln(\cosh cx) + C</math>
: <math>\int \coth cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\sinh cx\right| + C</math>
: <math>\int \operatorname{sech} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C</math>
: <math>\int \operatorname{csch} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C</math>

==與指數函數的關係==
從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:
:<math>e^x = \cosh x + \sinh x</math>
和
:<math>e^{-x} = \cosh x - \sinh x</math>

==複數的雙曲函數==
因為[[指數函數]]可以定義為任何[[复数 (数学)|複數]]參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數<math>\sinh z</math>和<math>\cosh z</math>是[[全純函數]]。

指數函數與三角函數的關係由[[歐拉公式]]給出：
:<math>\begin{align}
   e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\
  e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x
\end{align}</math>
所以:
:<math>\begin{align}
    \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
    \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
    \tanh ix &= i \tan x \\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
     \cosh x &= \cos ix \\
     \sinh x &= - i \sin ix \\
     \tanh x &= - i \tan ix
\end{align}</math>
因此，雙曲函數是關於虛部有[[週期函數|週期]]的，週期為<math>2 \pi i</math>（對雙曲正切和餘切是<math>\pi i</math>）。

==反双曲函数==
{{main|反双曲函数}}
'''反双曲函数'''是双曲函数的[[反函数]]。它们的定义为：

:<math>\begin{align}
  \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
  \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\
  \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\
  \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\
  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\
  \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0

\end{align}</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist|30em}}

==参见==
*[[反双曲函数]]
*[[双曲函数符号]]
*[[三角函数]]
*[[古德曼函数]]
{{-}}
{{三角函數}}

{{Authority control}}

[[Category:基本特殊函数]]
[[Category:指数]]
[[Category:双曲函数]]