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{{other uses|卡諾定理}}
[[File:Carnots theorem perpendicular.svg|thumb|upright=1.5|卡諾定理：若三角形三邊上的垂線交於一點F，則藍色區域面積等於紅色區域面積]]
'''卡諾定理'''以[[拉扎爾·卡諾]]命名，為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個[[充分必要條件]]。該定理也可被視為是[[畢氏定理]]的一般化。

== 定理 ==
對於一個三角形<math>ABC</math>，其三邊為<math>a, b, c</math>。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線，若<math>P_a, P_b, P_c</math>是這三條垂線在<math>a, b, c</math>上的垂足，則下列關係式成立：
:<math> |AP_c|^2+|BP_a|^2+|CP_b|^2=|BP_c|^2+|CP_a|^2+|AP_b|^2</math>

該命題的[[逆命題]]同樣成立：若<math>P_a, P_b, P_c</math>在邊上的位置滿足關係式，則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此，該關係式為垂線是否交於一點提供了一個[[充分必要條件]]。

== 特例 ==
若三角形<math>\triangle ABC</math>的角<math>C</math>為直角，則可以將三條垂線的交點<math>F</math>置於<math>A</math>上。此時由於<math>P_a=C</math>、 <math>P_b=A</math>且<math>P_c=A</math>，可得<math>|AP_b|=0</math>、<math>|AP_c|=0</math>、<math>|CP_a|=0</math>、<math>|CP_b|=b</math>、<math>|BP_a|=a</math>與<math> |BP_c|=c</math>，代入卡諾定理的關係式後，即可推得畢氏定理<math>a^2 + b^2 =c^2</math>。

若三條垂線皆為中垂線，則<math> |AP_c| = |BP_c|</math>、<math>|BP_a| = |CP_a|</math>且<math>|CP_b| = |AP_b|</math>，無論三邊長度為何，上述關係式必會成立，故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

== 參考資料 ==
*{{Cite book|title=Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet|editor=Wohlgemuth, Martin.|date=2010|publisher=Spektrum Akademischer Verlag|isbn=9783827426079|location=Heidelberg|oclc=699828882|pages=273–276|language=German}}
*{{Cite book|title=Challenging Problems in Geometry|author1=[[阿爾弗雷德·S·波薩門蒂]]|author2=Charles T. Salkind|isbn=9780486134864|location=New York|oclc=829151719|publisher=Dover|year=1996|pages=85–86}}


[[Category:三角形幾何]]