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在[[數學]]裏，'''卡西米爾不變量'''（又稱'''卡西米爾元'''或'''卡希米爾算子'''）是[[李代數]]的[[泛包絡代數]][[中心 (群论)|中心]]的一個特別的元素。典型的例子是[[角動量算符]]的平方 ''J'' <sup>2</sup>, 一個三維[[旋轉群]]的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以[[亨德里克·卡西米爾]]命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對[[刚体动力学]]的描述當中。<ref>{{Cite book | publisher = Springer | isbn = 978-0-387-40307-6 | last = Oliver | first = David | title = The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world | url = https://archive.org/details/shaggysteedphysi00oliv_967 | year = 2004 | page = [https://archive.org/details/shaggysteedphysi00oliv_967/page/n99 81] }}</ref>

==定義==
最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

===二次卡西米爾元===
設 <math>\mathfrak{g}</math> 為一個 <math>n</math> 維[[半單李代數]]。設 ''B'' 為 <math>\mathfrak{g}</math> 上非奇異的[[二次型]]，並要求 ''B'' 在 <math>\mathfrak{g}</math> 的[[伴随表示|伴隨作用]]下不變，即對 <math>\mathfrak{g}</math> 中的任意 ''X,Y,Z,'' 都有 <math>B(ad_XY,Z)+B(Y,ad_XZ)=0.</math> （例如，可取 ''B'' 為[[基灵型]]。）
設
:<math>\{X_i\}_{i=1}^n</math>
為 <math>\mathfrak{g}</math> 的[[基 (線性代數)|基]]，以及
:<math>\{X^i\}_{i=1}^n</math>
為 <math>\mathfrak{g}</math> 關於 ''B'' 的對偶基，則 ''B'' 的'''卡西米爾不變量''' <math>\Omega</math> 是泛包絡代數 <math>U(\mathfrak{g})</math> 的元素
:<math>\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.</math>

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 ''Ω'' 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 ''B'' 可以給出不同的 ''Ω''.  ''B'' 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 <math>\mathfrak{g}</math> 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 <math>U(\mathfrak{g})</math> 的中心的元素。<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 10.5</ref>

===線性表示和光滑作用的卡西米爾元===

給定 <math>\mathfrak{g}</math> 在向量空間 ''V'' 上的{{link-en|李代數表示|Lie algebra representation}} ''ρ'' （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ''ρ'' 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

:<math>\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).</math>

此處假定了 ''B'' 為基靈型，否則必須指明 ''B''.

該構造的特定形式，在[[微分幾何]]和{{link-en|大域分析|Global Analysis}}中有重要作用。假設連通李群 ''G'' 的李代數 <math>\mathfrak{g}</math> 作用在微分流形 ''M'' 上，則在 ''M'' 的連續函數空間上，有 ''G'' 相應的表示 ''ρ''. <math>\mathfrak{g}</math> 的元素均由 ''M'' 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ''ρ'' 的卡西米爾元，其為 ''M'' 上的二階微分算子，且在 ''G'' 的作用下不變。

更進一步，若 ''M'' 有[[度量张量]]，使得 ''G'' 的元素作為 ''M'' 的保距變換，可遞地作用在 ''M'' 上，且一點的穩定子 ''G''<sub>x</sub> 不可約地作用在切空間 ''T<sub>x</sub>M'' 上，則 ''ρ'' 的卡西米爾元是該度量的[[拉普拉斯算子]]的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於{{link-en|弗雷德霍姆理論|Fredholm theory}}研究[[伪微分算子]]時用到。

===一般情況===
<!-- {{link-en|universal enveloping algebra}}有詳細準確定義卡西米爾元，並有闡述若干性質，是擴展本段的可行方向 -->
每個卡西米爾算子，都對應[[伴隨表示]]的{{link-en|對稱代數|Symmetric algebra}} <math>\mbox{ad}_\mathfrak{g}.</math> 的對稱[[齊次多項式]]。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

:<math>C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k,</math>

其中 {{math|''m''}} 是對稱張量 <math>\kappa^{ij\cdots k}</math> 的階，且 <math>X_i</math> 組成 <math>\mathfrak{g}</math> 的[[基 (線性代數)|基]]。域 {{math|''K''}}上的[[多项式环]] <math>K[t_i, t_j, \cdots ,t_k]</math> 內，有 {{math|''m''}} 元對稱齊次多項式

:<math>c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k</math>
與該卡西米爾算子對應。{{link-en|龐卡萊–伯克霍夫–維特定理|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，''並非''每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 <math>X_i</math>, 都滿足

:<math>[C_{(m)}, X_i] = 0</math>.

考慮[[结构常数]] ''f<sub>ij</sub><sup>k</sup>''，其滿足
:<math>[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k.</math>
於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得
:<math>f_{ij}^{\;\; k}  \kappa^{jl\cdots m} 
+ f_{ij}^{\;\; l}  \kappa^{kj\cdots m} + \cdots
+ f_{ij}^{\;\; m}  \kappa^{kl\cdots j} = 0.
</math>
此為[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德]]所得的結果。<ref>Xavier Bekaert, "[http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pmif/Rencontres/ModaveI/Xavier.pdf Universal enveloping algebras and some applications in physics] {{Wayback|url=http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pmif/Rencontres/ModaveI/Xavier.pdf |date=20170808073818 }}" (2005) ''Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics''.</ref> 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，{{link-en|李代數表示|Lie algebra representation}}能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個[[半單李代數]]的秩為 {{math|''r'',}} 即其[[嘉当子代数]]的維數為 {{math|''r'',}} 則其恰有 {{math|''r''}} 個卡西米爾元。

==性質==

===唯一性===
一個單李代數中，每個不變二次型皆為[[基灵型]]的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

===與 G 上拉普拉斯算子的關係===
若 <math>G</math> 為李群，且其李代數為 <math>\mathfrak{g}</math>, 則 <math>\mathfrak{g}</math> 上的不變二次型對應 <math>G</math> 上的雙不變[[度量张量|黎曼度量]]。並且， <math>\mathfrak{g}</math> 的[[泛包絡代數]]等同於 <math>G</math> 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，<math>\mathfrak{g}</math> 上雙線性型的卡西米爾元，對應 <math>G</math> 關於雙不變度量的[[拉普拉斯－贝尔特拉米算子]]。

===推廣===
卡西米爾算子是李代數的[[泛包絡代數]]的[[中心 (代数)|中心]]的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由[[朱利奥·拉卡|拉卡]]定理<ref>{{cite book|last1=Racah|first1=Giulio|title=Group theory and spectroscopy|date=1965|publisher=Springer Berlin Heidelberg}}</ref>，[[半單李代數]]的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的[[拉普拉斯算子]]。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由[[舒尔引理]]，任何{{link-en|既約表示|Irreducible representation}}中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且[[量子力学]]中許多[[量子数]]亦然。

==例：<math>\mathfrak{so}(3)</math>==
考慮三維[[欧几里得空间]]的[[旋轉群]] SO(3). 其李代數 <math>\mathfrak{so}(3)</math> 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為[[克罗内克δ函数|克羅內克δ]], 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 <math>L_x,\, L_y,\, L_z</math> 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2</math>

給出。
考慮 <math>\mathfrak{so}(3)</math> 的一個不可約表示。記其中 <math>L_z</math> 的最大特徵值為 <math>\ell</math>, 則 <math>\ell</math> 的可能取值為 <math>0,1/2,1,3/2,\ldots.</math> 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 ''I'' 的倍數。該常數可以具體計算出，即：<ref> {{harvnb|Hall|2013}} Proposition 17.8</ref>

:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)I.</math>

在[[量子力学]]中，常數 <math>\ell</math> 稱為[[總角動量量子數]]。對於旋轉群的有限維矩陣取值[[群表示論|表示]]，<math>\ell</math> 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為[[玻色子]]表示（{{lang-en|bosonic representation}})，否則稱為[[费米子]]表示（{{lang-en|fermionic representation}})。 

給定 <math>\ell</math>, 得到的矩陣表示是 <math>(2\ell+1)</math> 維的。例如 <math>\mathfrak{so}(3)</math> 的三維表示對應於 <math>\ell\,=\,1</math>, 由下列的生成元給出：

:<math>
L_x=
i\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix};\quad
L_y=
i\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 0
\end{pmatrix};\quad
L_z=
i\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
1& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix},
</math>
其中照物理學常用的約定加入了 <math>i</math> 因子，使得諸生成元皆為[[自伴算子]]。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}.</math>
當 <math>\ell\,=\,1</math>時，<math>\ell(\ell+1)\,=\,2</math>, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以[[泡利矩陣]]作基，對應物理上[[自旋]]為 1/2 的粒子。

==特徵值==
由於卡西米爾元 <math>\Omega</math> 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 <math>\langle,\rangle</math> 為 <math>\Omega</math> 定義採用的對稱非退化二次型。記 <math>L(\lambda)</math> 為具有最高權 <math>\lambda</math> 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 <math>\Omega</math> 在 <math>L(\lambda)</math> 的作用為乘常數 
:<math>\langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle=\langle\lambda+\rho,\lambda+\rho\rangle - \langle\rho,\rho\rangle ,</math> 
其中 <math>\rho</math> 為所有[[根系 (数学)#正根與單根|正根]]之和之半。<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 10.6</ref> 

若 <math>L(\lambda)</math> 非平凡（即 <math>\lambda\neq 0</math>), 則上述常數非零。原因是，由於 <math>\lambda</math> 是優控的（{{lang-en|dominant}}, 即與任意正根的內積皆非負），若 <math>\lambda\neq 0</math>，則 <math>\langle\lambda,\lambda\rangle>0</math>, 且 <math>\langle\lambda,\rho\rangle\geq 0</math>, 故 <math>\langle\lambda,\lambda+2\rho\rangle >0</math>. 此結果適用於{{link-en|魏爾完全可約性定理|Weyl's theorem on complete reducibility}}的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的{{link-en|嘉當判別法|Cartan's criterion}}證明該常數非零。<ref>{{harvnb|Humphreys|1978}} Sections 4.3 and 6.2</ref>

==參見==
*{{link-en|哈里希·錢德拉同構|Harish-Chandra isomorphism}}
*{{link-en|包立－魯班斯基偽向量|Pauli–Lubanski pseudovector}}

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267|publisher=Springer|year=2013}}
*{{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* {{Citation| last=Humphreys | first=James E. | title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory | edition=Second printing, revised | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=9 | publisher=Springer-Verlag | location=New York | year=1978 | isbn=0-387-90053-5  | url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame }}

==延伸閱讀==
* {{cite book | last=Jacobson | first=Nathan | title=Lie algebras | url=https://archive.org/details/liealgebras00jaco_525 | publisher=Dover Publications | year=1979 | isbn=0-486-63832-4 | pages=[https://archive.org/details/liealgebras00jaco_525/page/n254 243]–249 }}

[[Category:李群表示论]]
[[Category:李代数]]