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'''卡茨-穆迪代数'''是一個[[李代數]]，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）[[廣義根系]]。卡茨-穆迪代数的應用遍及[[數學]]和[[理論物理學]]。

==定義==

假定以下材料：
*<math>C = (c_{ij})</math>  ——一個''r''階[[廣義嘉當矩陣]]('''generalised Cartan matrix''') <math>C = (c_{ij})</math> ''r''.
*<math>\mathfrak{h}</math>  ———— 一個 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''r''維複向量空間 <math>\mathfrak{h}</math>.
*<math>\mathfrak{h}^*</math> ———— <math>\mathfrak{h}</math>的[[對偶空間]]
*<math>\alpha_i\ </math>  ————<math>\mathfrak{h}</math> 中 ''n'' 枚相互[[線性獨立|獨立]]的元，稱為''對偶根''('''co-root''')
*<math>\alpha_i^*</math>  ————<math>\mathfrak{h}^*</math>  中''n'' 枚線性相互獨立的元 ,稱為'''根'''('''root''')
*上述各元滿足  <math>\alpha_i^*(\alpha_j) = c_{ij}</math>.  

卡茨-穆迪代数<math>\mathfrak{g}</math>
由符號 <math>e_i</math> , <math>f_i</math> (''i=1,..,n'') 及空間<math>\mathfrak{h}</math> 生成：

以上各元滿足以下關係：
* <math>[e_i,f_i] = \alpha_i.\ </math>
* <math>[e_i,f_j] = 0\ </math> ；其中 <math>i \neq j.</math>
* <math>[e_i,x]=\alpha_i^*(x)e_i</math>,  其中<math>x \in \mathfrak{h}.</math>
* <math>[f_i,x]=-\alpha_i^*(x)f_i</math>, 其中 <math>x \in \mathfrak{h}.</math>
* <math>[x,x'] = 0\ </math> ；其中 <math>x,x' \in \mathfrak{h}.</math>
* <math>[e_i,[e_i,\ldots,[e_i,e_j]]] = \mathcal C_{e_i}^{1-c_{ij}}\;e_j = 0</math>  ;其中<math>e_i.\ </math>出現 <math>1-c_{ij}\ </math> 次;
* <math>[f_i,[f_i,\ldots,[f_i,f_j]]] = \mathcal C_{f_i}^{1-c_{ij}}\;f_j = 0</math>  ;其中<math>f_i.\ </math>出現 <math>1-c_{ij}\ </math> 次;

(其中 <math>\mathcal C_{x}\;y = [x,y]</math>.)

一個 [[實數|實]](維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 [[複化]] 是個 Kac–Moody代數.

== 釋義 ==
*<math>\mathfrak{h}</math> 是此卡茨-穆迪代数的一[[嘉當子代數]]。
*若 ''g'' 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

:<math>\forall x\in \mathfrak{h}\,[g,x]=\omega(x)g</math>

其中 &omega; 是 <math>\mathfrak{h}^*</math>的一元， 

則稱''g'' 為 [[權 (李代數)|權]](weight) &omega;的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 <math>\mathfrak{h}</math>的冪为零，''e''<sub>''i''</sub>的冪为&alpha;*<sub>''i''</sub>，而''f''<sub>''i''</sub>的冪为&minus;&alpha;*<sub>''i''</sub>。若二冪特徵向量的[[李括號]]非零，則其冪是二冪之和。（若 <math>i \neq j</math> ) 則 <math>[e_i,f_j] = 0\ </math>  一條件即指 &alpha;*<sub>''i''</sub> 都是簡單根。

== 分類 ==

我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正[[對角矩陣]],  S 是 [[對稱矩陣]]。
然則有三種可能:
*<math>\mathfrak{g}</math> 有限維 [[單李代數]] (S  [[正定矩陣|正定]])
* <math>\mathfrak{g}</math> 是 [[仿射李代數]] (S  [[正半定]])
* 雙曲 (S 不定)

S 不可能 [[負定]] 或 [[負半定]] 因其對角元皆正.

==參見==
*[[外爾特徵標公式#外爾-卡茨特徵標公式|外爾-卡茨特徵標公式]]
*[[广义卡茨-穆迪代数]]
{{弦理论}}

==參考==
*<<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>,  Victor Kac, Cambridge University Press
*[http://eom.springer.de/K/k055050.htm Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/K/k055050.htm |date=20100725081051 }}


[[Category:李代数]]
[[Category:代數結構]]
[[Category:月光理論]]