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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{Expert-subject|數學|date=2018年10月}}
'''卡爾曼分解'''（Kalman decomposition）是[[控制理论]]中的數學工具，可以將[[线性时不变系统理论|线性时不变]]（LTI）[[控制系統]]轉變為可以清楚區分系統[[可觀測性|可觀測]]及[[可控制性|可控制]]成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構，更容易可以對系統{{link-en|可到達問題|Reachability problem|可到達}}及可觀測子空間的特性下結論。

== 符號 ==
推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：

: <math>\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)</math>
: <math>\, y(t) = Cx(t) + Du(t)</math>

其中 
: <math>\, x</math>為狀態向量 
: <math>\, y</math>為輸出向量 
: <math>\, u</math>為輸入（或控制）向量 
: <math>\, A</math>為狀態矩陣
: <math>\, B</math>為輸入矩陣 
: <math>\, C</math>為輸出矩陣
: <math>\, D</math>為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：

: <math>\, x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)</math>
: <math>\, y(k) = Cx(k) + Du(k)</math>

各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組<math>\, (A, B, C, D)</math>。
令系統的階數為<math>\, n</math>。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組<math>\, (A, B, C, D)</math>轉換為矩陣數組<math>\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})</math>，且後者有以下的特性：

: <math>\, {\hat{A}} = {T^{-1}}AT</math>
: <math>\, {\hat{B}} = {T^{-1}}B</math>
: <math>\, {\hat{C}} = CT</math>
: <math>\, {\hat{D}} = D</math>

<math>\, T</math>為<math>\, n \times n</math>的可逆矩陣，可以定義為

: <math>\,  T = \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>

其中
* <math>\, T_{r\overline{o}}</math>的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
* 選擇<math>\, T_{ro}</math> ，使得<math>\, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro}\end{bmatrix}</math>的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是可到達子空間的基底。
* 選擇<math>\, T_{\overline{ro}}</math> ，使得<math>\, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{\overline{ro}}\end{bmatrix}</math>的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是不可觀察子空間的基底。
* 選擇<math>\, T_{\overline{r}o}</math> ，使得<math>\,\begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>可逆。

依上述的建構方式，矩陣<math>\, T</math>可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則<math>\, T = T_{ro}</math>，其他的矩陣都是零維。

==標準型==
利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統<math>\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})</math>有以下形式的矩陣：

: <math>\, \hat{A} = \begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
0 & A_{ro} & 0 & A_{24} \\
0 & 0 & A_{\overline{ro}} & A_{34}\\
0 & 0 & 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>

: <math>\, \hat{B} = \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}</math>

: <math>\, \hat{C} = \begin{bmatrix}0 & C_{ro} & 0 & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>

: <math>\, \hat{D} = D</math>

因此可得以下結論
* 子系統<math>\, (A_{ro}, B_{ro}, C_{ro}, D)</math>具有可到達性及可觀察性。
* 子系統<math>\, \left(\begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12}\\ 0 & A_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & C_{ro}\end{bmatrix}, D\right)</math>有可到達性。
* 子系統<math>\, \left(\begin{bmatrix}A_{ro} & A_{24}\\ 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{ro} \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}C_{ro} & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}, D\right)</math>有可觀察性。

==相關條目==
* [[可觀測性]]
* [[可控制性]]

==外部連結==
*[http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-241j-dynamic-systems-and-control-spring-2011/readings/MIT6_241JS11_chap25.pdf Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25]{{Wayback|url=http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-241j-dynamic-systems-and-control-spring-2011/readings/MIT6_241JS11_chap25.pdf |date=20180824095139 }} - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese &mdash; MIT OpenCourseWare

[[Category:控制理论]]