卡爾曼分解

Template:NoteTA Template:Expert-subject 卡爾曼分解（Kalman decomposition）是控制理论中的數學工具，可以將线性时不变（LTI）控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測及可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構，更容易可以對系統Template:Link-en及可觀測子空間的特性下結論。

符號

推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

其中

$x$為狀態向量

$y$為輸出向量

$u$為輸入（或控制）向量

$A$為狀態矩陣

$B$為輸入矩陣

$C$為輸出矩陣

$D$為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)$

各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組$(A,B,C,D)$。 令系統的階數為$n$。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組$(A,B,C,D)$轉換為矩陣數組$(\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D})$，且後者有以下的特性：

$\hat{A}=T^{-1}AT$

$\hat{B}=T^{-1}B$

$\hat{C}=CT$

$\hat{D}=D$

$T$為$n\times n$的可逆矩陣，可以定義為

$T=\left[\begin{array}{cccc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}& T_{\overline{ro}}& T_{\bar{r}o}\end{array}\right]$

其中

• $T_{r\bar{o}}$的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
• 選擇$T_{ro}$ ，使得$\left[\begin{array}{cc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}\end{array}\right]$的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是可到達子空間的基底。
• 選擇$T_{\overline{ro}}$ ，使得$\left[\begin{array}{cc}{T}_{r\bar{o}}& T_{\overline{ro}}\end{array}\right]$的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是不可觀察子空間的基底。
• 選擇$T_{\bar{r}o}$ ，使得$\left[\begin{array}{cccc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}& T_{\overline{ro}}& T_{\bar{r}o}\end{array}\right]$可逆。

依上述的建構方式，矩陣$T$可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則$T=T_{ro}$，其他的矩陣都是零維。

標準型

利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統$(\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D})$有以下形式的矩陣：

$\hat{A}=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{r\bar{o}}& A_{12}& A_{13}& A_{14}\\ 0& A_{ro}& 0& A_{24}\\ 0& 0& A_{\overline{ro}}& A_{34}\\ 0& 0& 0& A_{\bar{r}o}\end{array}\right]$

$\hat{B}=\left[\begin{array}{c}{B}_{r\bar{o}}\\ B_{ro}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\hat{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& C_{ro}& 0& C_{\bar{r}o}\end{array}\right]$

$\hat{D}=D$

因此可得以下結論

• 子系統$(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)$具有可到達性及可觀察性。
• 子系統$(\left[\begin{array}{cc}{A}_{r\bar{o}}& A_{12}\\ 0& A_{ro}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{B}_{r\bar{o}}\\ B_{ro}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& C_{ro}\end{array}\right],D)$有可到達性。
• 子系統$(\left[\begin{array}{cc}{A}_{ro}& A_{24}\\ 0& A_{\bar{r}o}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{B}_{ro}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{C}_{ro}& C_{\bar{r}o}\end{array}\right],D)$有可觀察性。

相關條目

• 可觀測性
• 可控制性

外部連結

• Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25Template:Wayback - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare