查看“︁卡方分佈”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|2=zh-cn:方差; zh-tw:變異數;
|3=zh-cn:置信区间; zh-tw:信賴區間;
|4=zh-cn:总体; zh-tw:母體;
|5=zh-cn:拟合优度; zh-tw:適配度;
|6=zh-cn:检验; zh-tw:檢定;
|7= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
{{Probability distribution
|name = 卡方分布
|type = 密度
|pdf_image = [[File:chi-square_distributionPDF.png|325px]]
|cdf_image = [[File:chi-square_distributionCDF.png|325px]]
|parameters =<math>k \in \mathbb{N}^\star~~</math> [[自由度 (统计学)|自由度]]
|support = <math>x \in [0; +\infty)</math>，
|pdf = <math>\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\,</math>
|cdf = <math>\frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\;\gamma\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)</math>
|mean = <math>k</math>
|median = <math>\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3</math>
|mode = max{ ''k'' − 2, 0 }
|variance = <math>2k</math>
|skewness = <math>\scriptstyle\sqrt{8/k}\,</math>
|kurtosis = <math>12/k</math>
|entropy = <math>\begin{align}\frac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(k/2)) \\ &\!+(1-k/2)\psi(k/2)\end{align}</math>
|mgf = <math>(1-2\,t)^{-k/2}</math>，<math>2\,t<1</math>
|char = <math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math><ref>{{cite web | url=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | title=Characteristic function of the central chi-squared distribution | author=M.A. Sanders | accessdate=2009-03-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110715091705/http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | archive-date=2011-07-15 | dead-url=yes }}</ref>
}}

'''卡方分布'''（{{lang-en|chi-square distribution}}<ref>chi 的读音是 /kaɪ/ ，与「開」字的-{zh-cn:普通话;zh-hk:普通話;zh-tw:國語}-发音相同。</ref>, {{nowrap|1='''<span style="font-family:serif">''χ''</span>²'''-{{lang|en|distribution}}}}，或寫作'''<span style="font-family:serif">''χ''</span>²分布'''）是[[概率论]]与[[统计学]]中常用的一种[[概率分布]]。k个[[统计独立|独立]]的标准[[正态分布]]变量的平方和服从[[自由度 (统计学)|自由度]]为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的[[伽玛分布]]，是[[統計推論]]中应用最为广泛的[[概率分布]]之一，例如[[假說檢定]]和[[置信区间]]的计算。

由卡方分布延伸出來[[皮爾森卡方檢定]]常用于：

#樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
#同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
#二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見[[皮爾森卡方檢定]]）

== 数学定义 ==

若''k''个随机变量''<math>Z_1</math>''、……、''<math>Z_k</math>''是相互[[独立 (概率论)|独立]]且符合[[标准正态分布]]的[[随机变量]]（[[数学期望]]为0、[[方差]]为1），则随机变量''Z''的平方和
:<math>X=\sum_{i=1}^k Z_i^2</math>
被称为服从[[自由度 (统计学)|自由度]]为 ''k'' 的'''卡方分布'''，记作
: <math>    X\ \sim\ \chi^2(k) \,</math>
: <math>   \ X\ \sim\ \chi^2_k</math>

== 性质 ==
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
=== 概率密度函数 ===
卡方分布的[[概率密度函数]]为：
:<math>f_k(x)=
\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2}- 1} e^{\frac{-x}{2}}</math>
其中<math>x\geq 0</math>，当<math>x\leq 0</math>时<math>f_k(x)=0</math>。这里Γ代表[[Γ函数|Gamma函数]]。

=== 累积分布函数 ===
卡方分布的[[累积分布函数]]为：
:<math>F_k(x)=\frac{\gamma\Bigl( \frac{k}{2},\frac{x}{2} \Bigr)}{\Gamma(\frac{k}{2})}</math>，
其中γ(k,z)为[[不完全Γ函数]]

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如[[OpenOffice.org]] Calc和[[Microsoft Excel]]中都包括卡方分布函数。

自由度为''k''的卡方变量的[[平均值]]是''k''，[[方差]]是''2k''。
卡方分布是[[伽玛分布]]的一个特例，它的[[熵]]为：
:<math>H
=
\int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx
=
\frac{k}{2}
+
\ln
 \left(
  2 \Gamma
  \left(
   \frac{k}{2}
  \right)
 \right)
+
\left(1 - \frac{k}{2}\right)
\psi(k/2)</math>

其中<math>\psi(x)</math>是[[雙伽瑪函數]]。

=== 卡方變數與Gamma變數的關系 ===
當Gamma變數 頻率（<span style="font-size:larger;">λ</span>）為1/2時，<span style="font-size:larger;">α</span>的2倍為卡方變數之[[自由度]]。
即：
:<math>r.v. Y
=
\chi^2 \left(U\right)
=
\Gamma \left( \alpha = \frac{U}{2} , \lambda = \frac{1}{2}\right)</math>

:<math>\operatorname{E} \left( \chi^2 \left(U\right) \right)
=
\operatorname{E} \left( Y \right)
=
  \frac{\alpha}{\lambda}
=
\frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}}
=
U</math>
:<math>\operatorname{Var} \left( \chi^2 \left(U\right) \right)
=
\operatorname{Var} \left( Y \right)
=
  \frac{\alpha}{\lambda^2}
=
\frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}
=
2U</math>

卡方變數之期望值＝自由度
卡方變數之方差＝两倍自由度

=== 可加性 ===
由定义可得，[[独立 (概率论)|独立]]卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若<math>X_1,X_2,\dots X_n</math>分别独立服从自由度为<math>k_1,k_2,\dots k_n</math>的卡方分布，那么它们的和<math>\sum_{i=1}^n X_i</math>服从自由度为<math>\sum_{i=1}^n k_i</math>的卡方分布。

=== 偏差的平方和 ===
若''k''个随机变量''<math>Z_1</math>''、……、''<math>Z_k</math>''是相互[[独立 (概率论)|独立]]，符合[[标准正态分布]]的[[随机变量]]，则它们与均值之间偏差的平方和

<math>X=\sum_{i=1}^k (Z_i-\bar{Z})^2 \sim \chi^2_{k-1}</math>

其中均值

<math>\bar{Z} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Z_i</math>

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

<math>n \bar{Z}^2 \sim \chi^2_1</math>

== 卡方分布表 ==
p-value = 1- p_CDF. 

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为[[閾值]]，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

{| class="wikitable"
|-
! 自由度k \ P value （概率）
| style="background: #ffa2aa" | 0.95
| style="background: #efaaaa" | 0.90
| style="background: #e8b2aa" | 0.80
| style="background: #dfbaaa" | 0.70
| style="background: #d8c2aa" | 0.50
| style="background: #cfcaaa" | 0.30
| style="background: #c8d2aa" | 0.20
| style="background: #bfdaaa" | 0.10
| style="background: #b8e2aa" | 0.05
| style="background: #afeaaa" | 0.01
| style="background: #a8faaa" | 0.001
|-
| <div align="center"> 1
| 0.004
| 0.02
| 0.06
| 0.15
| 0.46
| 1.07
| 1.64
| 2.71
| 3.84
| 6.64
| 10.83
|-
| <div align="center"> 2
| 0.10
| 0.21
| 0.45
| 0.71
| 1.39
| 2.41
| 3.22
| 4.60
| 5.99
| 9.21
| 13.82
|-
| <div align="center"> 3
| 0.35
| 0.58
| 1.01
| 1.42
| 2.37
| 3.66
| 4.64
| 6.25
| 7.82
| 11.34
| 16.27
|-
| <div align="center"> 4
| 0.71
| 1.06
| 1.65
| 2.20
| 3.36
| 4.88
| 5.99
| 7.78
| 9.49
| 13.28
| 18.47
|-
| <div align="center"> 5
| 1.14
| 1.61
| 2.34
| 3.00
| 4.35
| 6.06
| 7.29
| 9.24
| 11.07
| 15.09
| 20.52
|-
| <div align="center"> 6
| 1.63
| 2.20
| 3.07
| 3.83
| 5.35
| 7.23
| 8.56
| 10.64
| 12.59
| 16.81
| 22.46
|-
| <div align="center"> 7
| 2.17
| 2.83
| 3.82
| 4.67
| 6.35
| 8.38
| 9.80
| 12.02
| 14.07
| 18.48
| 24.32
|-
| <div align="center"> 8
| 2.73
| 3.49
| 4.59
| 5.53
| 7.34
| 9.52
| 11.03
| 13.36
| 15.51
| 20.09
| 26.12
|-
| <div align="center"> 9
| 3.32
| 4.17
| 5.38
| 6.39
| 8.34
| 10.66
| 12.24
| 14.68
| 16.92
| 21.67
| 27.88
|-
| <div align="center"> 10
| 3.94
| 4.86
| 6.18
| 7.27
| 9.34
| 11.78
| 13.44
| 15.99
| 18.31
| 23.21
| 29.59

|}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
*[http://molecular-service-science.com/2012/08/03/cross-table-and-chi-squared-test/ 卡方分配與卡方檢定] {{Wayback|url=http://molecular-service-science.com/2012/08/03/cross-table-and-chi-squared-test/ |date=20190713015112 }}

* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html 分布计算器]{{Wayback|url=http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html |date=20070129113929 }}{{en}}

{{概率分布|continuous-semi-infinite}}
{{常见一元概率分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:正态分布]]
[[Category:指数族分布]]
[[Category:无穷概率分布]]
[[Category:概率分布]]