查看“︁卡塔兰常数”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox number
| name=卡塔兰常数
| number=0.915965594
| symbol=<math>G</math>
| OEIS=A006752
| 發現者=
| other name=
| type=
| define=<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2}</math>
| root of=
| 連分數=
| series=
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|0.91596559417721901505460351493238|precision=24}}|4|…}}
| 八進制 = {{FractionalGaps|{{進制|8|0.91596559417721901505460351493238|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|0.915965594177219015054603|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|0.91596559417721901505460351493238|precision=24}}|4|…}}}}
}}
'''卡塔兰常数''' ''G''，是一个偶尔出现在[[组合数学]]中的常数，定义为：
:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots</math>

其中β是{{link-en|狄利克雷β函数|Dirichlet_beta_function}}。它的值大约为：<ref>{{cite book|title=Catalan's Constant to 1,500,000 Places |author= Sconosciuto | publisher=CAIMAN | url=http://www.gutenberg.org/etext/812 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090924125536/http://www.gutenberg.org/etext/812 | archive-date=2009-09-24}}</ref>

:''G'' = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道''G''是[[有理数]]还是[[无理数]]。

==积分恒等式==

一些[[恒等式]]包括：

:<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} {\rm{d}} t</math>
:<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} {\rm{d}}x {\rm{d}}y</math>
:<math>G = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\sin t \cos t} {\rm{d}}t</math>

还有

:<math> G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(k)\,{\rm{d}}x</math>

其中<math>K(x)\,</math>是第一类完全[[椭圆积分]]，

:<math> G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}{\rm{d}}x</math>

==应用==

''G''出现在[[组合数学]]中，也出现在第二[[多伽玛函数]]（也称为[[三伽玛函数]]）的值中。

:<math> \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G</math>

:<math> \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G</math>

[[Simon Plouffe]]给出了无穷多个含有三伽玛函数、<math>\pi^2</math>和卡塔兰常数的恒等式。 

==快速收敛级数==
以下两个级数收敛得很快，可以用于计算卡塔兰常数的值：
:{|
|-
|<math>G = \,</math>
|<math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -</math>
|-
|
|<math>
2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)</math>
|}

以及

:<math>G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.</math>

==已知的位数==

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|+ '''已知的位数'''
! 日期 || 位数 || 计算者
|-
| 2009年4月16日 || 31,026,000,000 || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="#1">{{Cite web |url=http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html |title=Large Computations |accessdate=2009-08-17 |archive-date=2009-12-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20091209065546/http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html |dead-url=no }}</ref>
|-
| 2009年1月31日|| 15,510,000,000 || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="#1"/>
|-
| 2008年8月 || 10,000,000,000 || Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo<ref>{{Cite web |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html |title=Constants and Records of Computation |accessdate=2009-08-17 |archive-date=2011-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110115180217/http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html |dead-url=yes }}</ref>
|-
| 2006年10月 || 5,000,000,000 || Shigeru Kondo<ref>{{Cite web |url=http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html |title=Shigeru Kondo的网站 |accessdate=2008-07-08 |archive-date=2008-02-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080211185703/http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html |dead-url=yes }}</ref>
|-
| 2002年 || 201,000,000 || Xavier Gourdon & Pascal Sebah
|-
| 2001年 || 100,000,500 || Xavier Gourdon & Pascal Sebah
|-
| 1998年1月4日 || 12,500,000 || Xavier Gourdon
|-
| 1997年 || 3,379,957 || Patrick Demichel
|-
| 1996年 || 1,500,000 || Thomas Papanikolaou
|-
| 1996年9月29日 || 300,000 || Thomas Papanikolaou
|-
| 1996年8月14日 || 100,000 || Greg J. Fee & [[Simon Plouffe]]
|-
| 1996年 || 50,000 || Greg J. Fee
|-
| 1990年 || 20,000 || Greg J. Fee
|-
| 1913年 || 32 || [[James Whitbread Lee Glaisher|James W. L. Glaisher]]
|-
| 1877年 || 20 || [[James Whitbread Lee Glaisher|James W. L. Glaisher]]
|}

==参考文献==
{{reflist}}
* Victor Adamchik, ''[http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm 卡塔兰常数的33种表示法]{{Wayback|url=http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm |date=20090624123133 }}''
* Simon Plouffe, ''[http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html 一些与卡塔兰常数有关的恒等式]{{Wayback|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html |date=20090420041257 }}'', (1993) （有超过一百个不同的恒等式）
* {{MathWorld|title=Catalan's Constant|urlname=CatalansConstant}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:数学常数]]