查看“︁博雷爾求和”︁的源代码

{{quote box
|align=right
|width=33%
|quote= [[埃米尔·博雷尔|博雷尔]], 在他還是一個默默無名的年輕人時，就發現了他的求和方法，而且還可以對許多經興的發散級數給出「正確」的答案。於是，他決心到[[斯德哥爾摩]]拜會當時走在複分析領域前沿的[[哥斯塔·米塔-列夫勒]]。米塔-列夫勒禮貌地接見了他，聽完博雷爾的說話，然後按手在他老師[[魏尔斯特拉斯]]完整的文稿上，用拉丁語說：「大師禁止了它。」 
|source={{tsl|en|Mark Kac|馬克·卡茨}}, 引用自{{harvtxt|Reed|Simon|1978|p=38}}
}}

在數學上，'''博雷爾求和'''（{{lang-en|Borel summation}}）是一種[[发散级数]]的[[发散级数|求和方法]]。這種求和法是由{{harvs|txt|first=埃米尔|last=博雷尔|year=1899|authorlink=埃米尔·博雷尔}}提出的，在處理發散的[[渐近展开]]時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是[[米塔-列夫勒和]]。

==定義==
博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設''A(z)''是''z''的一個形式冪級數

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k</math>，

則定義''A''的'''博雷爾變換'''為其等價冪級數
:<math>\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k</math>。

===博雷爾指數求和===
設''A<sub>n</sub>(z)''為下列[[部分和]]：

:<math>A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k</math>。

博雷爾和的一種較弱的形式定義''A''的博雷爾和為

:<math> \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)</math>。

若此極限在某個''z''&nbsp;∈&nbsp;'''C'''時收斂至''a(z)''，則稱''A''的'''弱博雷爾和'''收斂於''z''，並記為<math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>.

===博雷爾積分求和===
假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的[[反常積分]]有意義，則''A''的'''博雷爾和'''定義為

:<math>\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt. </math>

若積分在某個''z''&nbsp;∈&nbsp;'''C'''時收斂於''a(z)''，則稱''A''的博雷爾和在''z''收斂，並記為 <math> {\textstyle \sum}  a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B) </math>。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有''t''都收斂，只需在0附近收斂為''t''的一個[[解析函數]]，且它在正半軸上[[解析延拓|解析連續]]即可。

==基本性質==

===正定性===
('''B''')和('''wB''')兩者都是正定的求和法，意味着若''A(z)''收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：
:<math> \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum} a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{wB}) </math>。

('''B''')的正定性容易由下式看出，若''A(z)''在''z''收斂，則

:<math> A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt </math>，

其中最右式正是原級數在''z''處的博雷爾和。

('''B''')和('''wB''')的正定性代表了此方法可以提供''A(z)''的解析延拓。

===博雷爾和與弱博雷爾和的等價性===
對任意的級數''A(z)''，若它在''z''&nbsp;∈&nbsp;''C''處是'''弱博雷爾可求和的'''，則必定是'''博雷爾可求和的'''。然而，可以構造 [[#不滿足等價性的例子|一個例子]]，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

:'''定理''' {{harv|Hardy|1992|loc=8.5}}
:設''A(z)'' 是一個形式冪級數，並限定''z''&nbsp;∈&nbsp;''C''，則：
:# 若<math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>，則<math> {\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})</math>。
:# 若<math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B}) </math>，且<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0</math>，則<math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>。

===與其他求和法的關聯===
* ('''B''') 是米塔-列夫勒求和法在α&nbsp;=&nbsp;1時的特殊情況。
* ('''wB''') 可視為廣義[[發散級數|歐拉求和法]]('''E''',q) 一個有限制的形式，其中<math>q \rightarrow \infty</math>。
<ref name="Hardy1992">Hardy, G. H. (1992). ''Divergent Series''. AMS Chelsea, Rhode Island.</ref>

==例子==

===幾何級數===
考慮[[幾何級數]]

:<math>y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k</math>

當 |''z''|&nbsp;<&nbsp;1時，收斂到 1/(1&nbsp;−&nbsp;''z'')。它的博雷爾變換為 

:<math>\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t</math>

因此，上述級數的博雷爾和為 

:<math>\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}</math>

然而，這個積分能在更大的範圍 Re(''z'')&nbsp;<&nbsp; 1 內收斂到 1/(1&nbsp;−&nbsp;''z'')，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為''A<sub>N</sub>(z) = (1-z<sup>N+1</sup>)/(1-z)''，因此其弱博雷爾和為

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty  \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}</math>，

同樣在Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1，

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0</math>。

===一個交替級數===
級數
:<math>y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k</math>

對任意非零的 ''z'' 都發散。它的博雷爾變換為 
:<math>\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t} </math>

對任意的|''t''|&nbsp;<&nbsp;1 都成立，且於 &nbsp;''t''&nbsp;≥&nbsp;0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為
:<math>\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)</math>

（其中Γ是指[[不完全Γ函數]]）

這個廣義積分對任意的 ''z''&nbsp;≥&nbsp;0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的&nbsp;''z'' '''博雷爾可求和'''的. 這個函數實際上是當 ''z'' 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。

===不滿足等價性的例子===
以下是{{harv|Hardy|1992|loc=8.5}}所給出的例子的一個擴展。考慮

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty  \left( 
 \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l(2l + 2)^k}{(2l+1)!} \right)
z^k. </math>

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

:<math> 
\begin{align}
\mathcal B A(t)&= \sum_{l = 0}^\infty 
\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2l+2) t\big)^k}{k!}  \right) \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= \sum_{l=0}^\infty e^{(2l+2)t}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= e^t \sum_{l=0}^\infty \big(e^t\big)^{2l+1} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
& = e^t \sin\left( e^t \right).
\end{align}
 </math>

在 ''z''&nbsp;=&nbsp;2 處，可求得博雷爾和為

:<math> \int_{0}^\infty e^t \sin(e^{2t})dt = \int_{1}^\infty \sin(u^2)du = \frac{\sqrt{\pi}}{8} - S(1) < \infty,
</math>

其中 ''S(x)'' 表示[[菲涅耳積分]]。於是上述博雷爾積分對任意''z''&nbsp;&le;&nbsp;2 都收儉（但顯然積分對 ''z''&nbsp;>&nbsp;2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin \left( e^{zt} \right) = 0 </math>

僅對 ''z''&nbsp;<&nbsp;1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

== 相關條目 ==
* [[發散級數]]
* [[切薩羅求和]]
* [[拉馬努金求和]]

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{citation|first=E.|last=Borel|title=Mémoire sur les séries divergentes|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup. (3)|volume=16|year=1899|pages=9–131|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1899_3_16__9_0|accessdate=2013-05-25|archive-date=2018-10-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20181004201423/http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1899_3_16__9_0|dead-url=no}}
*{{Citation | last1=Glimm | first1=James | last2=Jaffe | first2=Arthur | title=Quantum physics | publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-96476-8 | mr=887102 | year=1987}}
*{{Citation | last1=Hardy | first1=Godfrey Harold | author1-link=G. H. Hardy | title=Divergent Series | origyear=1949 | url=http://books.google.com/books?isbn=0821826492 | publisher=Chelsea | location=New York | isbn=978-0-8218-2649-2 | mr=0030620 | year=1992}}
*{{Citation | last1=Reed | first1=Michael | last2=Simon | first2=Barry | title=Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators | publisher=Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=New York | isbn=978-0-12-585004-9 | mr=0493421 | year=1978}}
*{{Citation | last1=Sansone | first1=Giovanni | last2=Gerretsen | first2=Johan | title=Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions | publisher=P. Noordhoff, Groningen | mr=0113988 | year=1960}}
*{{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=The quantum theory of fields. Vol. II | publisher=[[劍橋大學出版社|Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55002-4 | mr=2148467 | year=2005}}

[[Category:级数]]
[[Category:可和法]]
[[Category:量子色動力學]]