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在[[複分析|复分析]]中，'''博雷尔-卡拉西奥多里定理'''（Borel-Carathéodory theorem）表明[[解析函数]]有一个用实部表示的上界。它是[[最大模原理]]的一个应用，以[[埃米尔·博雷尔]]与[[康斯坦丁·卡拉西奥多里]]命名。

== 定理陈述 ==
设函数<math>f</math>在以原点为圆心以<math>R</math>为半径的闭圆盘上解析。假设<math>r<R</math>，则有以下不等式：

<math>\|f\|_r\le\frac{2r}{R-r}\sup_{|z|\le R}{\operatorname{Re}{f(z)}}+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|</math>

其中左边的范数是<math>f</math>在闭圆盘上的最大值：

<math>\|f\|_r=\max_{|z|\le r}{|f(z)|}=\max_{|z|= r}{|f(z)|}</math>

== 证明 ==
定义<math>A=\sup_{|z|\le R}{\operatorname{Re}{f(z)}}</math>。

首先设<math>f(0)=0</math>。由于<math>\operatorname{Re}{f}</math>是调和的，可以取<math>A>0</math>。<math>f</math>映到直线<math>x=A</math>左边的半平面<math>P</math>。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用[[施瓦茨引理]]，得到所要的不等式。

<math>w\mapsto w/A-1</math>把<math>P</math>变成标准左半平面。<math>w\mapsto R(w+1)/(w-1)</math>把左半平面变成圆心在原点且半径为<math>R</math>的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射：

<math>w\mapsto \frac{Rw}{w-2A}</math>

对上面这个映射与<math>f</math>的复合使用施瓦茨引理，得到

<math>\frac{|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}\le |z|</math>

取<math>|z|<r</math>，上式变为

<math>R|f(z)|\le r|f(z)-2A|\le r|f(z)|+2Ar</math>

所以

<math>|f(z)|\le\frac{2Ar}{R-r}</math>

对于一般的情况，考虑<math>f(z)-f(0)</math>

<math>\begin{align} |f(z)|-|f(0)| & \le |f(z)-f(0)| \\ 
&\le \frac{2r}{R-r}\sup_{|w|\le R}{\operatorname{Re}{(f(w)-f(0))}}\\ 
&\le \frac{2r}{R-r}\left(\sup_{|w|\le R}{\operatorname{Re}{f(w)}+|f(0)|}\right) \\ \end{align}</math>

整理后即得所要证明的不等式。

== 参考资料 ==

* Lang, Serge (1999). ''Complex Analysis'' (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. <nowiki>ISBN 0-387-98592-1</nowiki>.
* Titchmarsh, E. C. (1938). ''The theory of functions.'' Oxford University Press.

[[Category:复分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]