查看“︁单位阶跃函数”︁的源代码

{{Expand language|1=en|time=2021-05-25T21:55:18+00:00}}
{{NoteTA|zh-cn:赫维赛德;zh-tw:黑維塞}}
{{NoteTA|zh-cn:随机变量;zh-tw:隨機變數}}
[[File:Dirac distribution CDF.svg|right|325px]]

'''單位階躍函數'''，又称'''赫维赛德阶跃函数'''，通常用 {{mvar|H}} 或 {{mvar|θ}} 表记，有时也会用 {{mvar|u}}、{{math|'''1'''}} 或 {{math|{{not a typo|𝟙}}}} 表记，是一个由[[奧利弗·黑維塞|奥利弗·亥维赛]]提出的[[阶跃函数]]，参数为负时值为0，参数为正时值为1。

[[分段函数]]形式的定義如下：

:<math>H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0, \\ 1, & n \ge 0, \end{cases} </math>

另一种定义为：

:<math> H(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
</math>

或
: <math>H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )</math>

它是個不[[連續]]函數，其[[微分]]是[[狄拉克δ函數]]。它是一個[[幾乎必然]]是零的[[隨機變數]]的[[累積分布函數]]。

事實上，<math>x = 0</math>的值在函數應用上並不重要，可以任意取。
== 連續函數逼近 ==
* <math>H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}</math>

有許多[[S函数|可以以解析方式近似的函數]]<ref>{{cite mathworld| urlname=HeavisideStepFunction | title=Heaviside Step Function}}</ref>，以下是二個例子：
* <math>H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \ </math>
* <math>H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \ </math>

== 積分表示 ==
:<math>\begin{align}
 H(x)&=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} d\tau \\
 &=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau-i\varepsilon} e^{i x \tau} d\tau.
\end{align}</math>

== 参见 ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[狄拉克δ函数]]
* [[数学函数列表]]
* [[拉普拉斯变换]]
* [[负数]]
* [[矩形函数]]
* [[符号函数]]
* [[阶梯响应]]
{{Div col end}}

==參考資料==
{{reflist}}
[[Category:特殊函数|D]]