查看“︁单位双曲线”︁的源代码

{{Expand English|Unit Hyperbola|}}
{{expert}}

[[File:Drini-conjugatehyperbolas.svg|右|缩略图|蓝色的是单位双曲线，绿色的是其共轭，红色的是它们的渐近线.]]
在[[几何学]]中，'''单位双曲线'''是指[[笛卡尔坐标系|笛卡尔平面上]]满足[[隐函数]] <math> x^2 - y^2 = 1</math> 的点的集合或满足 <math> y^2 - x^2 = 1</math> 的点的集合（互为''共轭''）. 单位双曲线属于[[等轴双曲线]]，有[[渐近线]] <math>y=x</math> 和 <math>y= - x</math>，[[離心率|离心率]]等于 <math>\sqrt{2}.</math><ref>[[Eric Weisstein]] [http://mathworld.wolfram.com/RectangularHyperbola.html Rectangular hyperbola] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/RectangularHyperbola.html |date=20220222183359 }} from Wolfram Mathworld</ref>

== 渐近线 ==
{{main|渐近线}}
通常，曲线的渐近线是指曲线收敛到的直线。在[[代数几何]]和代数曲线理论中，引入了[[射影平面]]，此时渐近线是指在无穷远处与曲线相切的线.
:等轴双曲线<math>f = x^2 - y^2 -1</math>在ℝ²中相应的投影曲线是<math>F = x^2 - y^2 - z^2</math>，与''z'' = 0交于点''P'' = (1 : 1 : 0)和''Q'' = (1 : −1 : 0). ''P''和''Q''都在''F''上{{link-en|simple|zero (complex analysis)}}，有切线''x'' + ''y'' = 0, ''x'' − ''y'' = 0，即我们熟悉的初等几何中的渐近线.


<br />

:

<br />

== 参数化 ==
[[File:Hyperbolic_functions-2.svg|右|缩略图|296x296像素|单位双曲线的两支上的点分别为 <math>(\cosh a, \sinh a)</math> 和<math>(-\cosh a, -\sinh a)</math> ，取决于双曲角度参数 <math>a</math>.]]
参数化单位双曲线的直接方法之一是利用双曲线''xy'' = 1可以用[[指数函数]]：<math>( e^t, \ e^{-t})</math>参数化的特点.

这一双曲线可以通过具有矩阵 <math>A = \tfrac {1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math> 的[[线性映射]]映射到单位双曲线. 

: <math>(e^t, \ e^{-t}) \ A = (\frac{e^t + e^{-t}}{2},\ \frac{e^t - e^{-t}}{2}) = (\cosh t,\ \sinh t).</math>

参数''t''是'''双曲角度参数'''，即[[双曲函数]]的参量.

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:圆锥曲线]]
[[Category:一]]
[[Category:解析几何]]
[[Category:线性代数群]]