查看“︁协变经典场论”︁的源代码

近年来，'''协变经典场论'''又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用[[向量空间|有限维]]空间的在[[时空]]中的给定时间点上的[[场]]来表述。[[射流丛]]现在被认为是这种表述的正确定义域。
本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

==记法==

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令<math>\bar{\Gamma}(\pi)</math>表示有紧支撑的<math>\pi\,</math>的截面。

==作用量积分==

一个[[经典场论]]数学上可以如下表述
*一个[[纤维丛]] <math>(\mathcal{E},\pi, \mathcal{M})</math>，其中<math>\mathcal{M}</math>表示一个<math>n\,</math>维时空。
*一个'''[[拉格朗日量]][[微分形式|形式]]''' <math>\Lambda:J^{1}\pi \rightarrow \Lambda^{n}M</math>
令<math>\star 1\,</math>代表<math>M\,</math>上的[[体积形式]]，则<math>\Lambda = L\star 1\,</math>，其中<math>L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb{R}</math>是'''拉格朗日量函数'''。
我们在 <math>J^{1}\pi\,</math>上选择纤维化坐标<math>\{x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{i}\}\,</math>，使得

:<math>\star 1 = dx^{1} \wedge \ldots \wedge dx^{n}</math>

'''[[作用量积分]]'''定义为

:<math>S(\sigma) = \int_{\sigma(\mathcal{M})} (j^{1}\sigma)^{*}\Lambda \,</math>

其中<math>\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)</math>，并定义于[[开集]]<math>\sigma(\mathcal{M})\,</math>，而<math>j^{1}\sigma\,</math>代表其第一[[射流丛|射流延长]](jet prolongation)。

==作用量积分的变分==

截面<math>\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,</math>的变分由曲线<math>\sigma_{t} = \eta_{t} \circ \sigma\,</math>给出，其中<math>\eta_{t}\,</math>是一个<math>\mathcal{E}\,</math>上的<math>\pi\,</math>-竖直向量场<math>V\,</math>的流，它在<math>\mathcal{M}\,</math>上有紧支撑。
截面<math>\sigma \in \bar{\Gamma}(\pi)\,</math>称为变分的'''驻点'''，如果

:<math>\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\int_{\sigma(\mathcal{M})}(j^{1}\sigma_{t})^{*}\Lambda = 0\,</math>

这等价于

:<math>\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}\mathcal{L}_{V^{1}}\Lambda = 0\,</math>

其中<math>V^{1}\,</math>代表<math>V\,</math>的第一延长，按[[李导数]]的定义。
使用[[李导数|嘉当公式]]，<math>\mathcal{L}_{X}=i_{X}d + di_{X}\,</math>， [[斯托克斯定理]]以及<math>\sigma\,</math>的紧支撑，可以证明这等价于

:<math>\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = 0 \,</math>

==欧拉－拉格朗日方程==

考虑一个<math>\mathcal{E}</math>的<math>\pi\,</math>-竖直向量场
:<math>V = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}\,</math>

其中<math>\beta^{\alpha} = \beta^{\alpha}(x,u)\,</math>。采用[[射流丛|切触形式]] <math>\theta^{j} = du^{j} - u^{j}_{i}dx^{i}\,</math> on <math>J^{1}\pi\,</math>，我们可以计算<math>V\,</math>的第一延长。然后得到

:<math>V^{1} = \beta^{\alpha}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{i}}\,</math>

其中<math>\gamma^{\alpha}_{i} = \gamma^{\alpha}_{i}(x,u^{\alpha},u^{\alpha}_{i})\,</math>。
据此，可以证明

:<math>i_{V^{1}}d\Lambda = \left[\beta^{\alpha}\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}}u^{j}_{i}\right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}}\right]\star 1 \,</math>

因而

:<math>(j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda = \left[(\beta^{\alpha} \circ \sigma)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial x^{i}} \circ \sigma + \left(\frac{\partial \beta^{\alpha}}{\partial u^{j}} \circ \sigma \right)\frac{\partial \sigma^{j}}{\partial x^{i}} \right)\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right]\star 1 \,</math>

[[分部积分]]并考虑<math>\sigma\,</math>的紧支撑，临界条件变为

{|
|-
|<math>\int_{\mathcal{M}} (j^{1}\sigma)^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,</math>
|<math>= \int_{\mathcal{M}} \left[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right)\right]( \beta^{\alpha}\circ \sigma )\star 1 \,</math>
|-
|
|<math>= 0 \,</math>
|-
|}

因为<math>\beta^{\alpha}\,</math>为任意函数，我们得到

:<math>\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}} \circ j^{1}\sigma - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left(\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{i}} \circ j^{1}\sigma \right) = 0\,</math>

这些就是'''[[欧拉－拉格朗日方程|欧拉－拉格朗日方程组]]'''。

==参看==
*[[经典场论]]
*[[外代数]]
*[[纤维丛]]
*[[射流 (数学)|射流]]
*[[量子场论]]

==参考==

*Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
*Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
*De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
*Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
*Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., ''[https://web.archive.org/web/20060115182621/http://www.math.hawaii.edu/~gotay/GIMMsyI.pdf Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory]'', November 2003
*Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., ''[http://arxiv.org/PS_cache/dg-ga/pdf/9505/9505004.pdf Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories]{{Dead link|date=2019年10月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}'', May 1995

[[Category:微分几何|X]]
[[Category:微分方程]]
[[Category:纤维丛]]

[[Category:分析力学]]
[[Category:拉格朗日力學]]
[[Category:场论]]