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[[Image:Semicubical parabola.svg|right|thumb|240px|不同''a''值的半立方抛物线]]

'''半立方抛物线'''（cuspidal cubic）是一個[[參數式]]如下的平面[[代數曲線]]<ref name="pickover">{{citation|title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|first=Clifford A.|last=Pickover|authorlink=Clifford Pickover|publisher=Sterling Publishing Company, Inc.|year=2009|isbn=9781402757969|page=148|url=http://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA148|contribution=The Length of Neile's Semicubical Parabola}}.</ref>
:<math>x = t^2 \,</math>
:<math>y = at^3. \,</math>
其{{le|隱曲線|implicit curve|隱方程}}為
:<math>y^2-a^2x^3=0,</math>
可以求得{{math|''y''}}得到以下的式子<ref name="pickover"/>
:<math>y = \pm ax^{3 \over 2}.</math>

此[[三次平面曲線]]在[[原點]]有一[[尖點]]。

若令{{math|1=''u'' = ''at''}}, {{math|1=''X'' = ''a''<sup>2</sup>x}}，且令{{math|1=''Y'' = ''a''<sup>3</sup>''y''}}，可得
:<math>X = u^2 </math>
:<math>Y = u^3. </math>
這意味著，針對任意的實數{{math|''a''}}，此曲線都可以[[位似變換]]到{{math|1=''a'' = 1}}的曲線，也就是說，不同的{{math|''a''}}只對應不同的單位長度。

==性質==
有一種特殊的半立方抛物线，是[[抛物线]]的[[渐屈线]]<ref name="unroll">{{citation|title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|first=Joella G.|last=Yoder|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=9780521524810|page=88|url=http://books.google.com/books?id=21XlogeKCZ8C&pg=PA88|accessdate=2016-04-06|archive-date=2017-08-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20170820184923/https://books.google.com/books?id=21XlogeKCZ8C&pg=PA88|dead-url=no}}.</ref>，其方程式為
:<math>x = {3 \over 4}(2y)^{2 \over 3} + {1 \over 2}.</math>

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方抛物线<ref>{{cite mathworld|id=TschirnhausenCubicCatacaustic|title=Tschirnhausen Cubic Catacaustic}}</ref>：
:<math>x = 3(t^2 - 3) = 3t^2 - 9\,</math>
:<math>y = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t.\,</math>

半立方抛物线的另一個特性是其為{{le|等時曲線|isochrone curve}}，也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和[[等時降線]]有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和[[最速降線問題]]有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點<ref name="time"/>。

半立方抛物线等時曲線的特性是由[[雅各布·伯努利]]為了回答[[戈特弗里德·莱布尼茨]]在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性<ref name="time">{{citation|journal=School Science and Mathematics|volume=47|issue=6|title=Time Curves|first=Walter H.|last=Carnahan|pages=507–511|year=1947|doi=10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x}}.</ref>。

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
*{{MacTutor|class=Curves|id=Neiles|title=Neile's Semi-cubical Parabola}}

{{DEFAULTSORT:Semicubical Parabola}}
[[Category:曲線]]