查看“︁升餘弦濾波器”︁的源代码

'''升餘弦濾波器'''是一種經常用於數位[[調變]]的{{le|脈衝整形|Pulse shaping}}[[濾波器]]，它能夠最大限度地減少{{le|符碼間干擾|Intersymbol interference}}（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式[[谱密度|頻譜]]（<math>\beta = 1 </math>）的非零部分為[[三角函数|餘弦]]函數，且被「抬升」至水平軸<math>f</math>上方。

== 數學描述 ==
[[File:Raised-cosine_filter.svg|右|缩略图|300x300像素|升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應]]
[[File:Raised-cosine-impulse.svg|右|缩略图|300x300像素|升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應]]
升餘弦濾波器是一種低通{{le|奈奎斯特濾波器|Nyquist ISI criterion}}的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约<math>\frac{1}{2T}</math>的奇[[對稱]]，<math>T</math>是通訊系统的符元週期。

其頻域描述為[[分段]]定義[[传递函数]]，由下式給出：

: <math>H(f) = \begin{cases}
 1,
    & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
    & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
    & \text{otherwise}
\end{cases}</math>

或以[[正矢|餘的半正矢]]表示：

: <math>H(f) = \begin{cases}
 1,
    & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \operatorname{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right),
    & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
    & \text{otherwise}
\end{cases}</math>

: <math>0 \leq \beta \leq 1</math>

以兩個值為特徵；滾降係數 <math>\beta</math> 和符元率的倒數<math>T</math> 。

這種濾波器的[[冲激响应|脈衝響應]]<ref>{{Cite web |url=http://www.commsys.isy.liu.se/TSKS04/lectures/3/MichaelZoltowski_SquareRootRaisedCosine.pdf |title=Michael Zoltowski - Equations for the Raised Cosine and Square-Root Raised Cosine Shapes |access-date=2021-08-16 |archive-date=2022-03-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220328234242/http://www.commsys.isy.liu.se/TSKS04/lectures/3/MichaelZoltowski_SquareRootRaisedCosine.pdf }}</ref>由下式给出：

: <math>h(t) = \begin{cases}
\frac{\pi}{4T} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right),
    & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\
\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2},
    & \text{otherwise} 
\end{cases}</math>

以歸一化的[[Sinc函数|sinc函數]]表示。這裡使用的是通訊領域的定義<math> \sin(\pi x)/(\pi x ) </math>，而非數學領域所用的定義。

=== 滾降係數 ===
{{le|滾降|Roll-off}}係數<math>\beta</math>是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬<math>\frac{1}{2T}</math>的部分，有些作者會使用<math>\alpha</math> 表示. <ref>{{lang-de|Raised-Cosine-Filter}} German version of Raised-Cosine-Filter</ref>

若我們將多餘的頻寬表示為<math>\Delta f</math> ，則：

: <math>\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\,\Delta f</math>

<math>R_S = \frac{1}{T}</math>是符元率。

該圖顯示為<math>\beta</math>在0和1之間變化的振幅響應，以及對[[冲激响应|脈衝響應]]的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著<math>\beta</math>減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

<math>\beta = 0</math>

當<math>\beta</math>靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：

: <math>\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \operatorname{rect}(fT)</math>

<math>\operatorname{rect}(\cdot)</math>是[[矩形函数|矩形函數]]，所以脈衝響應會趨近<math>h(t)=\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)</math> .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或[[Sinc滤波器|磚牆濾波器]]。

<math>\beta = 1</math>

當<math>\beta = 1</math> ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：

: <math>H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
    & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
    & \text{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>

或

: <math>H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \operatorname{hvc}\left(\pi fT\right),
    & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
    & \text{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>

=== 頻寬 ===
升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：

: <math>BW = \frac{R_S}{2}(\beta+1),\quad(0<\beta<1)</math>

=== 自相關函數 ===
升餘弦函數的[[自相关函数|自相關函數]]如下：

: <math>R\left(\tau\right) = T \left[\operatorname{sinc}\left( \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \beta \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{2 \beta \tau}{T} \right)^2} - \frac{\beta}{4} \operatorname{sinc}\left(\beta \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{\beta \tau}{T} \right)^2} \right]</math>

自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

== 應用 ==
[[File:Raised-cosine-ISI.svg|缩略图|500x500像素|連續升餘弦脈衝，顯示零ISI特性]]
當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了<math>n = 0</math> 的情形之外，所有<math>nT</math> （<math>n</math>是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受[[白雜訊]]之影響，會在接收器中使用[[匹配濾波器]]。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於<math>H(f)</math> '''：'''

: <math>H_R(f)\cdot H_T(f) = H(f)</math>

因此'''：'''

: <math>|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}</math>

這些濾波器稱為{{le|根升餘弦濾波器|Root-raised-cosine filter}}。

升餘弦是一種常用於{{le|布拉格光纖光柵|Fiber Bragg grating}}的[[窗函数|變跡]]濾波器。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
* Glover, I.; Grant, P. (2004). ''Digital Communications'' (2nd ed.). Pearson Education Ltd. {{ISBN|0-13-089399-4}}.
* Proakis, J. (1995). ''Digital Communications'' (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. {{ISBN|0-07-113814-5}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-07-113814-5|0-07-113814-5]].
* Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) ''Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems"'' . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

== 外部連結 ==
* [https://www.nonstopsystems.com/radio/pdf-hell/article-raised-cosine.pdf Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters"] {{Wayback|url=https://www.nonstopsystems.com/radio/pdf-hell/article-raised-cosine.pdf |date=20210816172712 }} originally published in RF Design, written by Ken Gentile.

[[Category:電信理論]]
[[Category:线性滤波器]]