查看“︁十七边形”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{infobox regular polygon
|image=Regular polygon 17 annotated.svg
|edges=17
|S. symbol={17}
|C-D diagram=[[File:CDW_ring.svg]][[File:CDW 17.svg]][[File:CDW_dot.svg]]
|angle=(158<math>\frac{14}{17}</math>)
}}
'''十七边形'''是指[[幾何學]]中有[[17]]條邊及17隻角的[[多邊形]]。其[[內角]]和為2700°，有119條對角線。

'''正十七邊形'''是有17邊的[[正多邊形]]。正十七邊形的每个內角為{{nowrap|158.<span style{{=}}"text-decoration: overline">8235294117647058</span>}}[[角度|度]]。

==作圖方法==
===作圖===
1796年[[高斯]]证明了可以用[[尺規作圖]]作出正十七邊形，同時發現了[[可作圖多邊形]]的條件。正十七邊形其中一个作圖方法如下：

[[Image:Regular_Heptadecagon_Inscribed_in_a_Circle.gif|Heptadecagon Construction Animation]]

英文裏，[[詹·何頓·康威]]認為heptadecagon是錯誤的拼法，應為heptakaidecagon。

[[File:Regular_Heptadecagon_Using_Carlyle_Circle.gif]]

可作圖性亦同時顯示2π/17的[[三角函數]]可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書''Disquisitiones''包含了這條等式：

:<math>\operatorname{cos}{2\pi\over17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}.</math>

===證明===
設正十七邊形中心角為<math>\alpha</math>,则<math>17 \alpha = 360^\circ</math>度,

即<math>16 \alpha = 360^\circ - \alpha</math>

故<math>\sin 16\alpha = - \sin \alpha</math>，而

<math>\begin{align}
\sin 16\alpha & = 2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^4 \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
\end{align} </math>

因為<math>\sin \alpha \ne 0</math>，则

<math>16 \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha = -1</math>

又由 <math>2\cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )</math>等，有

<math>2(\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cdots + \cos 8\alpha) = -1</math>

而<math>\cos 15\alpha = \cos 2\alpha</math>，<math>\cos 12\alpha = \cos 5\alpha</math>，令

<math>x = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha</math>

<math>y = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha</math>

有：

<math>x + y = - \frac {1}{2}</math>

又

<math>\begin{align}
xy & = (\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha) \\
& = \frac {1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 4\alpha + \cos 6\alpha + \cdots + \cos \alpha + \cos 15\alpha) \\
& = -1 \\
\end{align} </math>

所以，得

<math>x = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}</math>

<math>y = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}</math>

另设:

<math>x_1 = \cos \alpha + \cos 4\alpha</math>，<math>x_2 = \cos 2\alpha + \cos 8\alpha</math>，

<math>y_1 = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha</math>，<math>y_2 = \cos 6\alpha + \cos 7\alpha</math>

故有

<math>x_1 + x_2 = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}</math>

<math>y_1 + y_2 = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}</math>

最後，由

<math>\cos \alpha + \cos 4\alpha = x_1</math>

<math>\cos \alpha \cos 4\alpha = \frac{y_1}{2}</math>

可得

<math>\cos \alpha=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}</math>

其为整数加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

==外部链接==
以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：
*[http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html 尺規作圖-正十七邊形] {{Wayback|url=http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html |date=20050210194152 }}
*[https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html 원에 내접하는 정17각형] {{ko}}
*[https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html Constructing the Heptadecagon] {{en}}
*Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html Heptadecagon] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html |date=20050204181345 }} {{en}}

{{多邊形}}

[[Category:多邊形|17]]