查看“︁区间套”︁的源代码

[[File:Illustration nested intervals.svg|thumb|400px|一串區間套中的4個成員之示例]]
在[[數學]]中，一串'''區間套'''是[[實數]]中的一串[[區間]]{{math|1=''I''<sub>''n''</sub>}}（''n''=1, 2, 3, ...），使得對於每個''n''都有{{math|1=''I''<sub>''n'' + 1 </sub>}}是{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}的子集，有時我們要求它是[[真子集]]。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。

關於區間套的主要問題在於探討所有區間{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}的[[交集]]（記作''J''）的性狀。

事實上，當{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}都是[[開集]]時，''J''有可能為[[空集]]。例如開區間套{{math|1=(0, 2<sup>&minus;''n''</sup>)}}的交集就是空集：任何一個正數''x''都在''n''充分大之後大於2<sup>&minus;''n''</sup>，故而''x''不在''J''中。

但對於[[閉集]]而言，情況有所不同。事實上，我們有''閉區間套定理''，這一定理刻劃了[[实数完备性|實數的完備性]]。定理聲稱對於任一的有界閉區間套{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}（例如{{math|1=''I''<sub>''n''</sub> = [''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub>]}}並滿足{{math|1=''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub>}}），它們的交集{{math|''I''<sub>''n''</sub>}}非空，且為閉區間<math>[\lim_{n\to \infty}a_n, \lim_{n\to \infty} b_n]</math>；特別地，假若<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n-b_n=0</math>，則它們的交集''J''為一個包含且僅包含<math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n</math>的單點集。

==參考文獻==
*{{citation|title=Introductory Analysis: The Theory of Calculus|first=J. A.|last=Fridy|publisher=Academic Press|year=2000|isbn=9780122676550|page=29|url=https://books.google.com/books?id=SaZYs-OKqJcC&pg=PA29|contribution=3.3 The Nested Intervals Theorem|accessdate=2020-02-24|archive-date=2019-07-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20190711063443/https://books.google.com/books?id=SaZYs-OKqJcC&pg=PA29|dead-url=no}}.
*{{citation|title=Elementary Real and Complex Analysis|series=Dover Books on Mathematics|first=Georgi E.|last=Shilov|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486135007|contribution=1.8 The Principle of Nested Intervals|url=https://books.google.com/books?id=GELCAgAAQBAJ&pg=PA21|pages=21–22|accessdate=2020-02-24|archive-date=2019-07-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20190711063440/https://books.google.com/books?id=GELCAgAAQBAJ&pg=PA21|dead-url=no}}.
*{{citation|title=Basic Real Analysis|first=Houshang H.|last=Sohrab|publisher=Springer|year=2003|isbn=9780817642112|page=45|url=https://books.google.com/books?id=gBPI_oYZoMMC&pg=PA45|contribution=Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem)|accessdate=2020-02-24|archive-date=2019-07-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20190711063439/https://books.google.com/books?id=gBPI_oYZoMMC&pg=PA45|dead-url=no}}.

{{DEFAULTSORT:區間套}}
[[Category:实数集]]
[[Category:实分析定理]]