查看“︁匹配濾波器”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Signals and Systems}}
在信號處理中，'''匹配濾波器'''可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道

1.傳送的訊號

2.訊號的同步

才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於[[模式識別]] 、相似度測試（similarity measure）。

== 最高SNR證明 ==
假設
g(t)：傳送訊號 

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

<math> 1.  x(t) = g(t) + w(t) </math>

<math> 2.  y(t) = [g(t) + w(t)] \ast h(t) </math>　

<math> = g(t) \ast h(t)+ w(t) \ast h(t) </math>

<math>= G(t) + N(t)</math>


<math> 3. SNR = |G(T)|^2 / E[N^2(T)]| </math> 

SNR = 信號瞬間功率 / 噪声平均功率

信號瞬間功率

<math> |G(T)|^2 =  \int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df </math>

雜訊平均功率

<math> E[N^2 (T)]= \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df </math>

<math> SNR = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df}{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df} </math>

<math> \le \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 e^{j2\pi fT} \, df \int_{-\infty}^{\infty} |G(f) e^{j2\pi fT}|^2 \, df }{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df} </math>

<math> =  \frac{2}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df </math>

4. 當
 
<math> H_{opt}(f) = k[G(f)e^{j2\pi fT}]^*  </math> , <math>SNR_{max} = \frac{2} {N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df </math>

所以

<math> h_{opt}(t) = k \int_{-\infty}^{\infty} G(-f)e^{-j2\pi fT} e^{j2\pi ft} \, df </math>

<math> = k \int_{-\infty}^{\infty} G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}  \, dz </math>

<math> = kg(T-t) </math>

(備註) [[柯西-施瓦茨不等式]]

若

<math> \int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx < \infty </math> 且 <math> \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx < \infty </math>

則

<math> |\int_{-\infty}^{\infty} A(x)B(x) \, dx|^2 \le \int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx </math>

當 <math> A=kB^* </math>時，等號成立。

== 匹配濾波器頻率響應 ==

<math>\ x = s + v,\,</math>

<math>\ R_v = E\{vv^\mathrm{H}\}.\, </math>


<math>\mathrm{SNR} = \frac{|y_s|^2}{ E\{|y_v|^2\} }.</math>


<math>\ |y_s|^2 = {y_s}^\mathrm{H} y_s = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h.\, </math>


<math>\ E\{|y_v|^2\} = E\{ {y_v}^\mathrm{H} y_v \} = E\{ h^\mathrm{H} v v^\mathrm{H} h \} = h^\mathrm{H} R_v h.\,</math>

<math>\mathrm{SNR} = \frac{h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h}{ h^\mathrm{H} R_v h }.</math>

如果我們限制分母為1, 最大化 <math>\mathrm{SNR}</math> 的問題可以被簡化為最大化分子. 

於是可以使用 拉格朗乘數

:<math>\ h^\mathrm{H} R_v h = 1 </math>
:<math>\ \mathcal{L} = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h + \lambda (1 - h^\mathrm{H} R_v h ) </math>
:<math>\ \nabla_{h^*} \mathcal{L} = s s^\mathrm{H} h - \lambda R_v h = 0 </math>
:<math>\ (s s^\mathrm{H}) h = \lambda R_v h </math>

:<math>\ h^\mathrm{H} (s s^\mathrm{H}) h = \lambda h^\mathrm{H} R_v h. </math>

因為 <math>s s^\mathrm{H}</math> 是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=

:<math>\ \lambda_{\max} = s^\mathrm{H} R_v^{-1} s, </math>

:<math>\ h = \frac{1}{\sqrt{s^\mathrm{H} R_v^{-1} s}} R_v^{-1} s. </math>

==匹配濾波器模式辨識==
若欲偵測一特定信號 h[n]，我們可以將h[n]時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維信號

:<math>y[n] = x[n]*h^*[-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n-\tau]h^*[-\tau] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]  </math>


:x[n] :數入信號 ，h[n]：欲偵測的特定信號，且假設當<math>\tau_1\leq n \leq\tau_2</math> 時， h[n]≠0 

二維信號

:<math>y[m,n] = x[m,n]*h^*[-m,-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2}x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho] </math>

:假設當<math>\tau_1\leq m \leq\tau_2           ,  \rho_1\leq m \leq\rho_2</math>時， h[m,n]≠0 


模擬結果：
{|
| [[File:Matched filter 2015-07-01.png|none|thumb|380px|未標準化而造成的計算誤差  y[n] = x[n]*h*[-n]]]
|}

但由於[[卷積]]是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。


'''標準化公式'''


一維信號

當 <math>\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2 </math> ≠0
:<math>y[n] = </math><math> {\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]} \over  \sqrt{\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2} |h[s]|^2}</math>    

當 <math>\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2 </math> =0
:<math>y[n] = 0</math>


二維信號

當 <math>\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2}  |x[s,v]|^2 </math> ≠0
:<math>y[m,n] = </math><math> {\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} \sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2} x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]} \over  \sqrt{\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2}  |x[s,v]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{v=\rho_1}^{\rho_2} |h[s,v]|^2}</math>    

當 <math>\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2}  |x[s,v]|^2 </math> = 0
:<math>y[m,n] = 0</math>


標準化後的模擬結果：
{|
| [[File:Normalized matched filter 2015-07-01.png|none|thumb|380px|標準化後可減少計算誤差]]
|}

==參考文獻==
#{{cite book|author = Haykin,S. / Moher,M.  | title = Haykin: Communication Systems 5/E |  language = 中文}}
# Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

==參見==
*[[霍夫變換]]
*[[拉東變換]]
*[[:週期圖法]]
*[[:迭代稀疏漸近最小方差算法|疊代稀疏漸近最小方差算法]]

[[Category:估计理论]]
[[Category:電信理論]]
[[Category:信号处理]]
[[Category:滤波器理论]]