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[[Image:EnvelopeAnim.gif|right|thumb|500px|建立曲線族的包絡線。]]
'''包絡線'''（Envelope）是[[幾何學]]裡的概念，代表一條[[曲線]]與某個[[曲線族]]中的每條線都有至少一點[[相切]]。（[[曲線族]]即一些曲線的[[無限集合|無窮集]]，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線<math>C_s</math>可表示為<math>t \mapsto (x(s,t),y(s,t))</math>，其中<math>s</math>是曲線族的[[參數方程|參數]]，<math>t</math>是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由<math>s \mapsto ( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )</math>得出，其中<math>h(s)</math>以以下的方程求得：

: <math>\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}</math>

若曲線族以[[隱函數]]形式 <math>F(x,y,s)=0</math> 表示，其包絡線的隱方程，便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。

: <math>\begin{cases} F(x,y,s)=0\\ \frac{\partial F(x,y,s)}{\partial s} =0\end{cases}</math>

'''繡曲線'''是包絡線的例子。直線族<math>(A-s) x + s y = (A-s)(s)</math>（其中<math>A</math>是常數，<math>s</math>是直線族的變數）的包絡線為[[拋物線]]。[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaEnvelope.shtml] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaEnvelope.shtml |date=20210101141700 }}

==證明==

設曲線族的每條曲線<math>C_s</math>為<math>t \mapsto (x(s,t),y(s,t))</math>。

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的<math>s</math>，設<math>( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )</math>表示<math>C_s</math>和包絡線相切的那點。由此式可見，<math>s</math>是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出<math>h(s)</math>。

在<math>C_s</math>的切向量為<math>< \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t}  ></math>，其中<math>t=h(s)</math>。

在E的切向量為<math>< \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}  ></math>。因為<math>x</math>是<math>s</math>和<math>t</math>的函數，而此處<math>t=h(s)</math>，[[局部求導]]有：

: <math>\frac{dx}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} \frac{dh}{ds} + \frac{\partial x}{\partial s} \frac{ds}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s}</math>

類似地得 <math>\frac{dy}{ds} = \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s}</math>。

因為<math>E</math>和<math>C_s</math>在該點相切，因此其切向量應平行，故有

: <math>\frac{\partial x}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s} )</math>
: <math>\frac{\partial y}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s} )</math>

其中<math>\lambda \ne 0</math>。可用此兩式消去<math>h'(s)</math>。整理後得：
<math>\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}</math>

==參考==
* https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm
==參見==
*[[克萊羅方程]]
==外部連結==
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Envelope_dir/envelope.html Special Plane Curves: Envelope] {{Wayback|url=http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Envelope_dir/envelope.html |date=20120427123824 }}
* [http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html Envelopes of Lines and Circles] {{Wayback|url=http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html |date=20200704000312 }}
{{Differential transforms of plane curves}}
[[Category:微分几何|B]]