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[[數學]]上，'''勒貝格微分定理'''是[[實分析]]的一條定理。這條定理大致是說，一個[[局部可積函數]]在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上[[幾乎處處]]都是[[勒貝格點]]。

==定理敘述==
設<math>f\in \mathrm {L^1_{loc}}(\mathbb R^k)</math>為实值或复值的局部可積函數，''m''為<math>\mathbb R^k</math>的[[勒貝格測度]]。那麼<math>\mathbb R^k</math>中[[幾乎處處]]的''x''都符合
::<math>\lim_{r\to 0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)=0</math>
使上式成立的点称为<math>f</math>的[[勒贝格点]]。

==證明==
因為這定理是關於函數的局部性質，[[不失一般性]]，可假設函數''f''定義在有界集合中，故''f''為可積函數。

定義
::<math>(T_r f)(x)=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)</math>
::<math>(Tf)(x)=\limsup_{r\to 0}(T_r f)(x)</math>
那麼這定理就是對幾乎處處的''x''有''Tf'' = 0。只需證對任何''y'' > 0，集合{''Tf'' > ''y''}的測度為零。

對[[連續函數]]，這定理顯然成立。連續函數在<math>\mathrm L^1(\mathbb R^k)</math>中[[稠密]]，故此對任意正整數''n''，有連續函數''g''使得<math>\|f-g\|_{\mathrm L^1} < 1/n</math>。

令<math>h=f-g</math>。由於''g''連續，有''Tg'' = 0。

用[[三角不等式]]有
::<math>(T_r h)(x)\leq \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm +|h(x)|</math>
設<math>Mh=\sup_{r>0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm</math>。（''Mh''為''h''的[[哈代－李特爾伍德極大函數]]。）從上式得
::<math>Th \leq Mh + |h|</math>

因為<math>T_r f \leq T_r g+T_r h=T_r h</math>，所以有
::<math>Tf \leq Th \leq Mh +|h|</math>
若''Tf'' > ''y''，則有''Mh'' > ''y''/2或者|''h''| > ''y''/2。因此<math>\{Tf > y\}\subset \{Mh>y/2\} \cup \{|h|>y/2\}</math>

由[[哈代－李特爾伍德極大函數|哈代－李特爾伍德極大不等式]]得
::<math>m\{Mh>y/2\}\leq 3^k (2/y)\|h\|_{\mathrm L^1}<3^k\cdot 2/(ny)</math>
由積分的基本性質有
::<math>m\{|h|>y/2\}y/2 \leq \|h\|_{\mathrm L^1}</math>
故得
::<math>m\{|h|>y/2\} \leq 2/(ny)</math>
因此
::<math>\begin{align}& m\{Tf>y\} \\
&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\} \\
&< 2(3^k+1)/(ny)\end{align}</math>
因為上式對所有正整數''n''成立，從而知''m''{''Tf'' > ''y''}=0。定理得證。

==參考==
*Rudin, Walter (1987), ''Real and complex analysis'', International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.

[[Category:实分析定理]]
[[Category:测度论定理]]