查看“︁勒壤得轉換”︁的源代码

{{noteTA
| T = zh-hans:勒让德变换; zh-hant:勒壤得轉換;
| G1 = 物理學
| G2 = 数学
}}
[[File:LegendreTransform1.png|thumb|200px|right|xy-圖展示出函數 <math>f(x)\,\!</math> 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在[[切點]] <math>(x_0,\ f(x_0))\,\!</math> 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 <math>(0,\ - f^*)\,\!</math> ；這裏，<math>f^*\,\!</math> 是勒壤得轉換 <math>f^*(p_0)\,\!</math> 的值，<math>p_0=\dot{f}(x_0)\,\!</math> 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 <math>\dot{f}(x_0)\,\!</math> 的直線，其與 y-軸相交點必定比點  <math>(0,\ - f^*)\,\!</math> 高，證明 <math>f^*\,\!</math> 確實是極大值。]]

'''勒壤得轉換'''（{{lang-en|Legendre transformation}}）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於[[阿德里安-马里·勒让德|阿德里安-馬里·勒壤得]]（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个[[实数|实变量]]的实值[[凸函数]]的[[对合]]变换。它经常用于[[经典力学]]中从[[拉格朗日力学|拉格朗日形式]]到[[哈密顿力学|哈密顿形式]]的推导、[[热力学]]中[[热力学势]]的推导以及多变量[[微分方程]]的求解。

== 概述 ==
為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的[[函數]]關係 <math>f(x)\,\!</math> 改用一個新函數 <math>f^{\star}(p)\,\!</math> 來表示，其變數 <math>p\,\!</math> 是 <math>f(x)\,\!</math> 的[[導數]]，<math>p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\!</math> 。而 <math>f^{\star}(p)\,\!</math>  的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說，從<math>(x,f(x))\,\!</math> x 值到 y 值的函數，轉換成<math>(p,f^{\star}(p))\,\!</math> f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由[[阿德里安-马里·勒让德|阿德里安-馬裡·勒壤得]]所發明的，因此稱為'''勒壤得轉換'''。稱函數 <math>f^{\star}(p)\,\!</math> 為 <math>f(x)\,\!</math> 的勒壤得轉換；

用方程式表示

:<math>f^\star(p) = pu-f(u)  | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!</math> 。
此式子表示 <math>f^\star(p) = pu-f(u)</math> 中的 u 對 <math>f^\star(p)</math> 而言是個參數，且參數 u 會滿足 <math>{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!</math> 的 <math>u</math>。即求算表達式關於變數 <math>u\,\!</math> 的[[極值]]。


為方便討論，把討論限定在 <math>f(x)</math>為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 <math>p=f'(x_0)</math> 也就是斜率不變的狀況下，對每個<math>x_0</math>而言，所有與曲線<math>(u,f(u))</math>相交且斜率為<math>f'(x_0)</math>的直線族為 <math>y = f'(x_0) (x-u)+f(u)\,\!</math>。若令<math> u = x_0 </math>，該直線即是<math>f(x)</math>在<math>x_0</math>的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在<math>u = x_0</math>的情況下，<math>y = f'(x_0) (x-u)+f(u) = f'(x_0) x-[f'(x_0) u-f(u)]</math>值是最小的，也就是說直線方程式中<math>[f'(x_0) u-f(u)]</math>這部分是最大的，而正好 <math>f^\star(p) = pu-f(u)  | _{{\mathrm{d} [ pu-f(u) ] \over \mathrm{d}u} = 0} \,\!</math>，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間[[對偶性關係]]（{{lang|en|duality}}）的一個應用。函數 <math>f(x)\,\!</math> 設定的函數關係可以用 <math>(x,\ y=f(x))\,\!</math> 點集合來表示；也可以用[[切線]](在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為[[勒壤得-芬伽轉換]]（{{lang|en|Legendre-Fenchel transformation}}）。勒壤得轉換時常用於[[熱力學]]與[[哈密頓力學]]。

== 定義 ==

给定[[区间]]{{math|''I'' ⊂ ℝ}}和[[凸函数]]{{math|''f'' : ''I'' → ℝ}}，则其勒让德变换为函数{{math|''f*'' : ''I*'' → ℝ}}，
:<math>f^*(x^*) = \sup_{x\in I}(x^*x-f(x)),\quad x^*\in I^*</math>
其中<math>\sup</math>表示[[上确界]]，[[定义域]]<math>I^*</math>为
:<math>I^*= \left \{x^*\in \R:\sup_{x\in I}(x^*x-f(x))<\infty \right \} ~.</math>

当{{math|''f''(''x'')}}为[[凸函数]]时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集{{math|''X'' ⊂ ℝ<sup>''n''</sup>}} 上的凸函数{{math|''f'' : ''X'' → ℝ}}：其变换{{math|''f *'' : ''X*'' → ℝ}}为定义在
:<math>X^*= \left \{x^* \in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x))<\infty \right \}</math>
上的函数
:<math>f^*(x^*) = \sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x)),\quad x^*\in X^*   ~,</math>
其中<math>\langle x^*,x \rangle</math>表示{{math|''x''*}}和 {{mvar|x}}的[[点积]]。

===从导数的角度理解勒让德变换===

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数<math>f</math>，其勒让德变换
<math>f^*</math>的一阶导数与<math>f</math>的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的<math>f^*</math>。

=== 最大值式定義 ===
更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 <math>L(x,\ p)=px - f(x)\,\!</math> 關於 <math>x\,\!</math> 的最大值，設定 <math>L(x,\ p)\,\!</math> 關於 <math>x\,\!</math> 的偏導數為零：
:<math>\frac{\partial}{\partial x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0\,\!</math> 。

則
:<math>p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}\,\!</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

這表達式必為最大值。因為，凸函數 <math>L(x,\ p)\,\!</math> 的二阶导数是負數：
:<math>\frac{\partial^2}{\partial x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0\,\!</math> ；

用方程式 (1) 來計算函數 <math>f\,\!</math> 的反函數 <math>x=g(p)\,\!</math> 。代入 <math>L(x,\ p)\,\!</math> 方程式，即可以得到想要的形式：
:<math>f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!</math> 。

計算 <math>f(x)\,\!</math> 的勒壤得轉換，所需的步驟為：
# 找出导函數 <math>p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!</math> ，
# 計算导函數 <math>p = \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d}x}\,\!</math> 的反函數  <math>x=g(p)\,\!</math> ，
# 代入 <math>F(x)\,\!</math> 方程式來求得新函數 <math>f^\star(p)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!</math> 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 <math>f^\star(p)\,\!</math> ；其新自變數為 <math>p = {\mathrm{d}f \over \mathrm{d}x}\,\!</math> 。

=== 反函數式定義 ===
另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 <math>f(x)\,\!</math> 與 <math>f^\star(p)\,\!</math> 的一階導數是互相的反函數；
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*\right)^{ - 1}(x)\,\!</math> ，
或者，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}f^*(p)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\right)^{ - 1}(p)\,\!</math> ，
則 <math>f\,\!</math> 與 <math>f^\star\,\!</math> 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，
:<math>{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}=p\,\!</math> ，
:<math>{\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!</math> 。

思考下述運算：
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(xp - f(x))=x+p\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=x={\mathrm{d}f^\star(p) \over \mathrm{d}p}=x\,\!</math> 。

所以，
:<math>f^\star(p)=xp - f(x)=g(p)\ p - f(g(p))\,\!</math> ；
這裏，<math>x=g(p)\,\!</math> 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定
:<math>f^\star(p)=f(x) - xp\,\!</math> ，
也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：[[熱力勢]]（{{lang|en|thermodynamic potential}}），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

== 數學性質 ==
以下討論，函數 <math>f\,\!</math> 的勒壤得轉換皆標記為 <math>f^\star\,\!</math> 。

=== 標度性質 ===
勒壤得轉換有以下這些標度性質：
:<math>f(x)=a \cdot g(x)\rightarrow f^\star(p) = a \cdot g^\star\left(\frac{p}{a}\right)
\,\!</math> ，

:<math>f(x) = g(a \cdot x)\rightarrow f^\star(p) = g^\star\left(\frac{p}{a}\right)
\,\!</math> ，

由此可知，一個 <math>r\,\!</math> 次[[齊次函數]]的勒壤得轉換是一個 <math>s\,\!</math> 次齊次函數；這裏，
:<math>\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1\,\!</math> 。

=== 平移性質 ===
:<math>f(x) = g(x) + b\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - b\,\!</math> ，

:<math>f(x) = g(x + y)\rightarrow f^\star(p) = g^\star(p) - p \cdot y\,\!</math> 。

=== 反演性質 ===
:<math>f(x) = g^{-1}(x)\rightarrow f^\star(p) = - p \cdot g^\star\left(\frac{1}{p}\right)
\,\!</math> 。

=== 線形變換性質 ===
讓 <math>A\,\!</math> 成為一個從 <math>R^n\,\!</math> 到 <math>R^m\,\!</math> 的線形變換。對於任何定義域為 <math>R^n\,\!</math> 的凸函數 <math>f\,\!</math> ，必有
:<math> \left(A f\right)^\star = f^\star A^\star \,\!</math> ；

這裏，<math>A^\star\,\!</math> 是 <math>A\,\!</math> 的[[伴隨算子]]定義為
:<math> \left \langle Ax, y^\star \right \rangle = \left \langle x, A^\star y^\star \right \rangle \,\!</math> 。

==例子==

===例一===
[[Image:LegendreExample.svg|right|thumb|200px|e<sup>''x''</sup>（红色实线）与其勒让德变换（蓝色虚线）。]]
[[指数函数]]
:<math> f(x) = e^x </math>
的勒让德变换为
:<math>f^*(p) = p ( \ln p - 1 ) </math>，
因为它们的一阶导数 {{math|''e<sup>x''</sup>}}与 {{math|ln ''p''}}互为反函数。

== 應用 ==
[[File:LegendreTransform.png|thumb|勒壤得轉換]]

=== 熱力學 ===
在[[熱力學]]裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的[[偏導數]]）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種[[熱力勢]]（{{lang|en|thermodynamic potential}}）之間作轉換。例如，[[內能]] <math>U\,\!</math> 是[[內含及外延性質|外延量]]（{{lang|en|extensive}}）[[熵]] <math>S\,\!</math> ，[[體積]] <math>V\,\!</math> ，與[[化學成份]]（{{lang|en|chemical composition}}）<math>N_i\,\!</math> 的顯函數
:<math> U = U(S,\ V,\ \{N_i\})\,\!</math> 。

對於 <math> - PV\,\!</math> ，函數 <math>U\,\!</math> （非標準的）勒壤得轉換為[[焓]]函數 <math>H\,\!</math> ：

:<math> H(S,\ P,\ \{N_i\})= U + PV\,\!</math> ，
:<math> P= - \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,\ \{N_i\}}\,\!</math> 。

一個熵與[[內含及外延性質|內含量]]（{{lang|en|intensive}}）[[壓力]]的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 <math>TS\,\!</math> ，函數 <math>H\,\!</math> 勒壤得轉換為[[吉布斯能]]函數 <math>G\,\!</math> :
:<math> G(T,\ P,\ \{N_i\}) = H - TS\,\!</math> ，
:<math> T=\left( \frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,\ \{N_i\}}\,\!</math> 。

對於 <math>TS\,\!</math> ，函數 <math>U\,\!</math> 勒壤得轉換為[[亥姆霍兹自由能]]函數 <math>A\,\!</math> :
:<math> A(T,\ V,\ \{N_i\}) = U - TS\,\!</math> ，
:<math> T=\left( \frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,\ \{N_i\}}\,\!</math> 。

這些[[自由能]]函數時常用在常溫的物理系統。

=== 古典力學(哈密頓力學) ===
在[[經典力學]]裏，勒壤得轉換專門用來從[[拉格朗日力學|拉格朗日表述]]導引出[[哈密頓力學|哈密頓表述]]，或反導之。[[拉格朗日量]] <math>\mathcal{L}\,\!</math> 是[[廣義坐標]] <math>\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\!</math> 與[[廣義速度]] <math>\dot{\mathbf{q}}\,\!</math> 的函數；而[[哈密頓量]] <math>\mathcal{H}\,\!</math> 將函數的自變量轉換為廣義坐標 <math>\mathbf{q}\,\!</math> 與[[廣義動量]] <math>\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\!</math> ：
:<math>\mathbf{p}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\,\!</math> ，
:<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)=\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t),\ t)\,\!</math> 。

=== 正則變換 ===
[[正則變換]]廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種[[正則坐標]]的改變，<math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})\,\!\,\!</math> ，而同時維持[[哈密頓方程式]]的形式，雖然[[哈密頓量]]可能會改變。正則變換的方程式為

:<math>\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}\,\!\,\!</math> ，
:<math>\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}= - \dot{\mathbf{P}}\,\!\,\!</math> ，
:<math>\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=  \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}\,\!</math> ；

這裏，<math>\mathbf{q},\ \mathbf{p}\,\!</math> 是舊正則坐標，<math>\mathbf{Q},\ \mathbf{P}\,\!</math> 是新正則坐標，<math>\mathcal{H}\,\!</math> 是舊哈密頓量，<math>\mathcal{K}\,\!</math> 是新哈密頓量，<math>G\,\!</math> 是[[正則變換生成函數|生成函數]]。

== 參閱 ==
* [[哈密頓力學]]
* [[切觸幾何]]
* [[正則變換]]

== 參考文獻 ==
* {{cite book |last=Arnold|first=Vladimir| title=Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition) | publisher=Springer | year=1989 | id=ISBN 0-387-96890-3}}
* {{cite book | author=Rockafellar, Ralph Tyrell | title=Convex Analysis | publisher=Princeton University Press | year=1996 | id=ISBN 0-691-01586-4}}

[[Category:哈密頓力學|L]]
[[Category:拉格朗日力學|L]]