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'''动力学时标'''（{{lang-en|free-fall timescale}}）是衡量恒星演化的一个时标<ref name=":1">{{Cite book |title=恒星结构演化引论 |author=李焱 |publisher=北京大学出版社 |location=北京 |year=2014 |isbn=978-7-301-23987-2 |pages=130}}</ref>，同样也可以用来衡量[[星云]]坍缩所需要的时间。其定義爲某一质点从某一物体表面落下，所到达物体中心所需的时间。动力学时标由下式给出<ref name=":0">{{Cite book |title=当代天体物理学导论 |last=Carroll |first=Bradley W. |last2=Ostlie |first2=Dale A. |publisher=科学出版社 |location=北京 |year=2023 |isbn=978-7-03-076666-3 |pages=340-341 |translator=姜碧沩 |translator2=李庆康 |translator3=高健 |translator4=孔令杰}}</ref>：'''<math display="block">t_{ff} = \sqrt{\frac{3\pi}{32}\frac{1}{G\rho_0}}</math>'''

== 理论推导 ==

考虑某一位于恒星表面的[[質點|质点]]，该质点的[[运动方程]]可以这样被写出：

<math>a = \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2} = - \frac{GM(r)}{r^2}</math>

其中<math>M(r)</math>是半径<math>r</math>内的质量，<math>a</math>是质点受到的[[加速度]]。通过解该[[微分方程]]，可以解出动力学时标<ref name=":0" />。

通过假设整个恒星是一个球壳，可以粗略估计动力学时标的大小。加速度可以近似为{{Smallmath|f=a \approx \frac{R}{t^2_{ff} } }}，半径<math>r</math>内的质量可以近似为恒星的质量（即<math>M(r) \approx M</math>），而半径<math>r</math>可以近似为恒星的半径<math>R</math>，这样可以得到：

<math>\frac{R}{t^2_{ff}} \approx \frac{GM}{R^2} </math>

再通过平均[[密度]]的定义，可以得出动力学时标的粗略估计：<math display="block">t_{ff} \approx \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho_0}} </math>这与前面的解在量纲上一致<ref name=":1" />。

== 相关条目 ==
* [[核時標|核时标]]
* [[热时标]]
* [[恆星演化|恒星演化]]

== 參考資料 ==
{{Reflist|2}}

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[[Category:天体力学]]