查看“︁加法原理”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}} 
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'''加法原理'''<ref>{{cite web |url = https://terms.naer.edu.tw/detail/3634956/?index=2 |title = addition rule |website = 雙語詞𢑥、學術名詞暨辭書資訊網 |author = 國家教育研究院 |access-date = 2021-09-03 |archive-date = 2021-09-04 |archive-url = https://web.archive.org/web/20210904165708/https://terms.naer.edu.tw/detail/3634956/?index=2 |dead-url = no }}</ref>（'''rule of sum'''<ref name=":0">{{Cite book|last=Leung|first=K. T.|url=https://books.google.co.uk/books?id=QqgaZ799QGAC&newbks=0&printsec=frontcover&q=%22rule+of+sum%22&hl=en&redir_esc=y#v=snippet&q=%22rule%20of%20sum%22&f=false|title=Fundamental Concepts of Mathematics|last2=Cheung|first2=P. H.|date=1988-04-01|publisher=Hong Kong University Press|isbn=978-962-209-181-8|language=en|access-date=2021-09-03|archive-date=2021-08-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210814021337/https://books.google.co.uk/books?id=QqgaZ799QGAC&newbks=0&printsec=frontcover&q=%22rule+of+sum%22&hl=en&redir_esc=y#v=snippet&q=%22rule%20of%20sum%22&f=false|dead-url=no}}</ref>{{rp|66}}<ref>{{Cite book|last=Penner|first=R. C.|url=https://books.google.co.uk/books?id=t5r79vZ9ogoC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA342&dq=%22rule+of+sum%22+AND+%22mathematics%22&hl=en&redir_esc=y|title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures|date=1999|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4088-2|language=en|access-date=2021-09-03|archive-date=2021-08-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210814021442/https://books.google.co.uk/books?id=t5r79vZ9ogoC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA342&dq=%22rule+of+sum%22+AND+%22mathematics%22&hl=en&redir_esc=y|dead-url=no}}</ref>{{rp|342}}或'''addition principle<ref name=":1">{{Cite book|last=Biggs|first=Norman L.|title=Discrete Mathematics|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|location=India|pages=91, 112}}</ref>'''<ref name=":2">{{Cite web|date=22 March 2013|title=enumerative combinatorics|url=https://planetmath.org/EnumerativeCombinatorics|url-status=no|archive-url=https://web.archive.org/web/20140723121944/https://planetmath.org/EnumerativeCombinatorics|archive-date=2014-07-23|access-date=14 August 2021|website=planetmath.org}}</ref>）是[[組合計數]]的基本[[組合原理]]。簡單而言，若有<math>A</math>種方式做某事，又有<math>B</math>種方式做另一件事，且恰好要做其中之一，則總共有<math>A+B</math>種方案。<ref name=":0" /><ref name=":1" />
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嚴格化的數學中，加法原理是有關[[集合 (數學)|集合]][[基數 (數學)|大小]]的事實，斷言任意有限多個兩兩[[互斥集|互斥]]的集合大小之和，等於其[[並集|聯集]]的大小。以符號表示為，若集合<math>S_1, S_2, \ldots, S_n</math>兩兩互斥，則有

:<math>|S_{1}|+|S_{2}|+\cdots+|S_{n}| = |S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}|. </math><ref name=":1" /><ref name=":2" />

== 簡單例子 ==

設學校田徑運動會中，學生要報名恰好一個項目，可以是田賽或徑賽。若選田賽，則可以選跳高、跳遠、鉛球三項之一。若選徑賽，則可以選一百米跑、四百米跑兩項之一。

應用加法原理，共有<math>3+2 = 5</math>種報名方案。

== 容斥原理 ==
{{main|容斥原理}}

[[File:Inclusion-exclusion-3sets.png|alt=有左中右三幅圖，三幅畫的圖形一樣，但字不同。圖形是三個兩兩相交的圓，將平面總共分成八個區域。左邊一幅，僅被一個圓包圍的區域標1，僅被兩個圓包圍的區域標2，三個圓一同包圍的最中間區域標3，一共有三個1，三個2，一個3。左邊的圖下方算式是|A|+|B|+|C|。左邊的圖描述完。中間的圖，三個圓一同包圍的最中間區域標0，其外，被至少一個圓包圍的區域有六個，全都標1。中間的圖下方算式是|A|+|B|+|C| - (|A交B|+|A交C|+|B交C|)。以上是中間的圖。右邊的圖，全部八個區域中，不計最外面不被任意圓包圍的區域，其餘七個區域都標1。右邊的圖下方的算式是|A|+|B|+|C| - (|A交B|+|A交C|+|B交C|)+|A交B交C|。|thumb|248x248px|三幅[[文氏圖]]，每個區域標的數，是該圖下方算式中，該區域（對應的集合）的元素數了多少次，驗證了容斥原理。]] 
'''容斥原理'''可以視為加法原理的推廣，因為是同樣計算若干個集合之[[並集|並]]的大小，但不要求各集合兩兩互斥。其斷言，若<math>A_1, A_2, \ldots, A_n</math>為有限集，則

:<math>
\begin{align}
\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr|  {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|
&-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| \\
& +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|.
\end{align}</math><ref name=":1" />

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 參見 ==

*其他[[組合技巧]]如：
**{{鏈解|乘法原理}}
**{{鏈解|排容原理|容斥原理}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:数学原理]]