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[[代数几何]]中，'''加权射影空间'''<math>\mathbf{P}(a_0,\ \ldots,\ a_n)</math>是与[[分次环]]<math>k[x_0,\ \ldots,\ x_n]</math>相关联的[[射影簇]]<math>{\rm Proj}(k[x_0,\ \ldots,\ x_n])</math>，其中簇''x''<sub>''k''</sub>的度为''a''<sub>''k''</sub>。

==性质==

*有正整数''d''，则<math>\mathbf{P}(a_0,\ a_1,\ \ldots,\ a-n)</math>与<math>\mathbf{P}(da_0,\ da_1,\ \ldots,\ da_n)</math>同构。这是所谓[[射影结构]]的性质；从几何学角度看，它对应于d元[[委罗内塞面|委罗内塞嵌入]]。因此，在不失一般性的前提下，可以假设<math>a_i</math>的度数没有公因子。

*假设<math>a-0,\ a_1,\ldots,\ a_n</math>没有公因子，且d是所有<math>i\ne j</math>的<math>a_i</math>的公因子，则<math>\mathbf{P}(a_0,\ a_1,\ldots,\ a_n)</math>与<math>\mathbf{P}(a_0/d,\ldots,\ a_{j-1}/d,\ a_j,\ a_{j+1}/d,\ldots,\ a_n/d)</math>同构（其中d与<math>a_j</math>互质；否则同构不成立）。因此可以进一步假设，任何由n个变量组成的集合<math>a_i</math>都没有公因子。称这样的加权射影空间“结构良好”（well-formed）。
*加权射影空间位移的奇异点是循环商奇异点。
*加权射影空间是Q[[法诺簇]]<ref>M. Rossi and L. Terracini, Linear algebra and toric data of weighted projective spaces. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012), no. 4, 469--495, proposition 8</ref>，也是[[环面簇]]。
*加权射影空间<math>\mathbf{P}(a_0,\ a_1,\ldots,\ a_n)</math>与射影空间对对角作用的<math>a_0,\ a_1,\ldots,\ a_n</math>阶的单位之根的积群的商同构。<ref>This should be understood as a [[GIT quotient]]. In a more general setting, one can speak of a ''weighted projective stack''. See https://mathoverflow.net/questions/136888/.</ref>
==参考文献==
{{Reflist}}

*{{citation|mr=0704986 
|last=Dolgachev|first= Igor
|chapter=Weighted projective varieties|title= Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981)|pages= 34–71 
|series=Lecture Notes in Math.|volume= 956|publisher= Springer|place= Berlin|year= 1982|doi=10.1007/BFb0101508|isbn=978-3-540-11946-3|citeseerx=10.1.1.169.5185}}
*{{citation
  | first=Timothy
  | last=Hosgood
  | title=An introduction to varieties in weighted projective space
  | arxiv=1604.02441| bibcode=2016arXiv160402441H
  | year=2016
  }}
*{{citation|last=Reid|first=Miles|title=Graded rings and varieties in weighted projective space|url=https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/grad.pdf|year=2002|accessdate=2023-11-27|archive-date=2023-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20230602112725/https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/grad.pdf|dead-url=no}}

[[Category:代数几何]]


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