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{{About|數論中的劉維爾函數|名為Liouvillian function的函數|劉維爾函數 (微積分)}}
'''劉維爾函數'''（Liouville function）<math>\lambda(n)</math>是[[算術函數]]。對於[[正整數]]''n''，

: <math>\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}</math>

其中<math>\Omega(n)</math>表示<math>n</math>的[[質因子]]數目（可重覆）（<math>\Omega(n)</math>表示{{le|素数Omega函数|Prime_omega_function}}）。因為<math>\Omega(n)</math>是完全[[加性函數]]，所以<math>\lambda(n)</math>是完全[[積性函數]]。（[[OEIS:A008836]]）

{|
| rowspan="2" | <math>\sum_{d|n}\lambda(d)=   \begin{cases} 1 \\ 0 \\ \end{cases} </math>
|若<math>n</math>是[[平方數]]
|-
|若<math>n</math>非平方數。
|}

對於[[狄利克雷卷積]]，<math>\lambda</math>的逆函數為<math>|\mu(n)|</math>，其中<math>\mu</math>為[[默比烏斯函數]]。

λ和μ的關係還有：<math>\lambda(n) = \sum_{d^2 | n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right)</math>

[[File:Liouville.svg|thumb|L(n)的圖象，n=1 至 10000]]

1919年，[[喬治·波利亞]]猜想對於正整數<math>n>1</math>，<math>L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0</math>。1980年，{{link-jp|田中實 (教授)|田中實|田中實}}找到反例<math>n=906150257</math>。

==參考==
* http://eom.springer.de/L/l059620.htm{{Wayback|url=http://eom.springer.de/L/l059620.htm |date=20070824071518 }}

{{数论小作品}}

[[Category:积性函数]]