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[[File:割圜密率捷法卷一.JPG|thumb|300px|割圜密率捷法卷一]]
'''割圜密率捷法''',清代数学家[[明安图]]积三十年之功写成；后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年（1774年）出版，时明安图已去世十年。<ref>吴文俊主编 《[[中国数学史大系]]》第七卷 447页</ref>

《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质，详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家[[李俨 (现代学者)|李儼]]说“数与形的结合，堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”<ref>李儼 《明清算家的割圆术研究》《[[李儼钱宝琮科学史全集]]》第7卷第 297页 </ref>。

==内容==
卷一 步法
*;圆径求周
<math>2*\pi*r=\frac{3*2*r}{4^0*1!}+\frac{1^2*3*2*r}{4^1*3!}+\frac{1^2*3^2*3*2*r}{4^3*5!}+\frac{1^2*3^2*5^2*7^2*9^2*11^2*13^2*15^2*17^2*19^2*3*2*r}{4^10*21!}</math>+…………

可以改写成
<math>\frac{\pi}{3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{((2n-1)!!)^2}{4^n*(2n+1)!}</math><ref name=ml>罗见今 第20页</ref>。

此展开式被清代数学家称为“杜氏第一术”，出自[[牛顿]]。
*;弧背求正弦

杜氏九术之二，出自格列高里:<ref name=lj>罗见今 第22页</ref>.

弧背为a,半径为r,通弦为c

<math>\frac{c}{2}=rsin(\alpha)=a-\frac{a^3  }  { 3!*r^2 } -\frac{ a^5 }{ 5!*r^4  } +\frac{ a^7  }{ 7!*r^6    }+</math>……

*;弧背求正矢

“杜氏九术”之三，出自格列高里

<math>b=rvers\alpha=\frac{ a^2 }{ 2!*r }-\frac{a^4  }{ 4!*r^3  }  +\frac{ a^6 }{ 6!*r^5 }+</math>…………
*;弧背求通弦
<math>2*\pi*r=2*a-\frac{(2a)^3}{4*3!*r^2}+\frac{(2*a)^5}{4^2*5!*r^4}+\frac{(2*a)^7}{4^3*7!*r^6}</math>+……
*;弧背求矢

<math>h=\frac{(2*a)^2}{4*2!*r}-\frac{(2*a)^4}{4^2*4!*r}+\frac{(2*a)^6}{4^3*6!*r}</math>+…………
*;通弦求弧背

出自明安图：

<math>2a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2*c^{2n+1}}{4^n*(2n+1)!*r^{2n}}</math><ref name=ljs>罗见今 第28页</ref>。
*;正弦求弧背
出自明安图

<math>a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2*(r*sin\alpha)^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}</math><ref name=ljj30>罗见今 30页</ref>。
*;正矢求弧背

<math>a^2=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2*(2b)^{n+1}}{(2n+2)!*r^{n-1}}</math><ref name=ljj31>罗见今 31页</ref>。
*;矢求弧背

<math> (2a)^2=\sum_{n=0}^\infty\frac{2*(n!)^2*(8*r*vers\alpha)^{n+1}}{4^n*(2n+2)!*r^{n-1}}</math><ref name=ljj33>罗见今 33页</ref>。
*;余弧求正弦正矢

<math>rvers(90-\alpha)=rcvers(\alpha)</math>

<math>r-rcovers(\alpha)=rsin(\alpha)</math>

<math>rsin(90-\alpha)=rcos(\alpha)</math>

<math>r-rcos(\alpha)=rvers(\alpha)</math>


*;余矢余弦求本弧
*;借弧背求正弦余弦
*;借正弦余弦求弧背
卷二  用法
*角度求八线
*
*直线三角形边角相求
*弧线三角形边角相求
卷三 法解上
[[File:Geyuan milv jiefa figure 1.JPG|thumb|300px|分弧通弦率数求全弧通弦率图解]]
[[File:MingAntu Catalan number.JPG|thumb|300px|明安图镇此书中最先运用[[卡塔兰数]]]]
[[File:Geyuan Milv fig 2.JPG|thumb|300px|弧背求通弦图解]]
*分弧通弦率数求全弧通弦率法解
*弧背求通弦法解
*通弦求弧背法解
*弧背正弦相求法解
卷四 法解下
*分弧正矢率数求全弧正矢率数法解
*弧背求正矢法解
*正矢求弧背法解
*弧矢相求法解
*弧矢弦正余互用法解
*借弧背求正弦余弦法解
*借正弦余弦求弧背法解

== 注释 ==

{{Reflist}}

==参考文献==

*明安图著 《割圜密率捷法》卷一、二、三
*明安图原著 罗见今译注 《割圜密率捷法》释注 内蒙古教育出版社 1998
*Yoshio Mikami  Development of Mathematics in China and  Japan,  Leipzig, 1912
*Jami C, Etude du Livre "Methods Rapides des Trigonometrie et du Rapport Precis du Cercle" de Ming Antu,1985.

{{Wikisource|割圜密率捷法}}

{{中国数学史}}
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