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在[[數學]]中，特別是[[實分析]]，'''利普希茨連續'''（{{lang|en|Lipschitz continuity}}）以德國數學家[[魯道夫·利普希茨]]命名，是一個比[[一致連續]]更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在[[微分方程]]，利普希茨連續是[[柯西-利普希茨定理|皮卡-林德洛夫定理]]中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為[[壓縮映射|壓縮]]應用於[[巴拿赫不動點定理]]。

利普希茨連續可以定義在[[度量空間]]上以及[[賦范向量空間]]上；利普希茨連續的一種推廣稱為[[赫爾德條件|赫爾德連續]]。

==定義==
[[File:Lipschitz_continuity.png|thumb|对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这两个圆锥外。]]

對於在實數集的子集的函數<math>f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ，若存在[[常數]]<math>K</math>，使得<math>|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \quad \forall a,b \in D</math>，則稱<math>f</math> 符合利普希茨條件，對於<math>f</math> 最小的常數<math>K</math> 稱為 <math>f</math> 的'''利普希茨常數'''。

若<math>K < 1</math>，<math>f</math> 稱為[[收縮映射]]。

利普希茨條件也可對任意[[度量空間]]的函數定義：

給定兩個度量空間<math>(M, d_M), (N, d_N)</math>，<math>U \subseteq M</math>。若對於函數<math>f : U \to N</math>，存在常數<math>K</math> 使得

:<math> d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad  \forall a,b \in U</math>

則說它符合利普希茨條件。

若存在<math>K \ge 1</math>使得
:<math>\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U</math>

則稱<math>f</math>為'''双李普希茨'''(bi-Lipschitz)的。

==皮卡-林德洛夫定理==
{{main|柯西-利普希茨定理}}

若已知<math>y(t)</math>有界，<math>f</math>符合利普希茨條件，則微分方程初值問題<math>y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0</math>剛好有一個解。

在應用上，<math>t</math>通常屬於一有界閉[[區間]]（如<math>[0,2 \pi]</math>）。於是<math>y(t)</math>必有界，故<math>y</math>有唯一解。

==例子==
* <math>f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2</math>符合利普希茨條件，<math>K=4</math>。
* <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2</math>不符合利普希茨條件，當<math>x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty</math>。
* 定義在所有實數值的<math>f(x)=\sqrt{x^2+5}</math>符合利普希茨條件，<math>K=1</math>。
* <math>f(x)=|x|</math>符合利普希茨條件，<math>K=1</math>。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
* <math>f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}</math>不符合利普希茨條件，<math>x \to 0, \quad f'(x) \to \infty</math>。不過，它符合[[赫爾德條件]]。
* 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，<math>f</math>符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有<math>C^1</math>函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

==性質==
*符合利普希茨條件的函數[[連續]]，实际上[[一致連續]]。
*双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是[[單射]]。
*'''Rademacher定理'''：若<math>A \subseteq \mathbb{R}^n</math>且<math>A</math>為開集，<math>f : A'' \to \mathbb{R}^n</math>符利普希茨條件，則<math>f</math>幾乎處處可微。<ref>Juha Heinonen, ''[http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep100.pdf Lectures on Lipschitz Analysis] {{Wayback|url=http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep100.pdf |date=20070418132957 }}'', Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18頁以後）</ref>
*'''Kirszbraun定理'''：給定兩個[[希爾伯特空間]]<math>H_1,H_2</math>，<math>U \in H_1</math>，<math>f: U \to H_1</math>符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的<math>F: H_1 \to H_2</math>，使得<math>F</math>的利普希茨常數和<math>f</math>的相同，且<math>F(x)=f(x) \quad \forall x \in U</math>。<ref>M. D. Kirszbraun. ''Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen.'' Fund. Math., (22):77–108, 1934.
</ref><ref>[[Jack Schwartz|J.T. Schwartz]]. ''Nonlinear functional analysis''. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.</ref>

== 參考 ==
<references />
[[Category:微分方程]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:利普希茨映射]]