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{{no footnotes|time=2018-04-05T08:13:27+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Quadratic equation discriminant.png|250px|right|thumbnail|一元二次多项式的判别式 <math>\Delta</math>与其函数图像之间的关系]]
'''判別式'''是[[代数学]]中的概念，它可以推斷出一个[[实数|实]][[系数]]或[[复数 (数学)|复]]系数[[多项式]]的[[根 (数学)|根]]的屬性。

当多项式的系数不是实数或复数[[体 (数学)|域]]时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的[[分裂域]]中有重根。判别式的通常形式为：
:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math>

其中的<math>a_n</math>是多项式的最高次项系数，<math>r_1, ..., r_n</math>是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它[[代数结构]]，比如说[[圆锥曲线]]、[[二次型]]和[[代数数域]]中。在[[代数数论]]中，判别式与所谓的“[[分歧 (代数)|分歧]]”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应[[行列式]]的计算。

== 定义 ==
===二次方程的判别式===
最简单的判别式情形出现在[[二次方程|二次多项式方程]]的求解中。假设有二次多项式方程<math>ax^2+bx+c\,</math>，其中系数<math>a,b,c</math>为[[实数]]，则它的判别式定义为：
: <math>\Delta=b^2-4ac\,</math>
判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为<math>r_1</math>和<math>r_2</math>，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：
:<math>r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.</math>
方程的根与判别式的关系为：
:<math>\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.</math>
两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是[[共轭复数|共轭]]的[[复数 (数学)|复数]]。
===三次方程的判别式===
* [[三次方程|三次多项式]]<math>ax^3+bx^2+cx+d\,</math>的判别式是
: <math>\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math>

* 二次項系數為零的首一三次多項式<math>x^3+px+q\,</math>的判别式是： 
: <math>\Delta=-4p^3-27q^2\,</math>

===四次方程的判别式===
* [[四次方程|四次多項式]]<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>的判别式是：
:<math>\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\
&-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\
&+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\
&-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}</math>

== 二次判别式 ==

二次多项式<math>P(x)=ax^2+bx+c\,</math>的判别式是<math>D=b^2-4ac\,</math>。在[[一元二次方程]]的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。 
* 如果<math>D>0\,</math>，那么<math>P(x)\,</math>有两个相异实根<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>，即<math>P(x)\,</math>的图像穿过<math>x\,</math>轴两次。
* 如果<math>D=0\,</math>，那么<math>P(x)\,</math>有两个相等实根<math>x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,</math>，<math>P(x)\,</math>的图像与<math>x\,</math>轴[[相切]]。
* 如果<math>D<0\,</math>，那么<math>P(x)\,</math>没有实根，即<math>P(x)\,</math>的图像与<math>x\,</math>轴没有交点。

== 一般多项式的判别式 ==

对于一般的一个多项式
:<math>p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0</math>，
其判别式等于（差一个系数）以下的<math>(2n-1)\times(2n-1)\,</math>的[[矩阵]]的[[行列式]]（见[[西尔维斯特矩阵]]）：

:<math>\left[\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right].</math>

这个矩阵的行列式称为<math>p(x)\,</math>和<math>p'(x)\,</math>的[[结式]]，记为<math>R(p,p')\,</math>。<math>p(x)\,</math>的判别式<math>D(p)\,</math>由以下公式给出：
:<math>D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,</math>.

例如，在<math>n= 4\,</math>的情况下，以上的行列式是： 

:<math>\begin{vmatrix}
 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}</math>

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以<math>a_4\,</math>。
 
作为等价条件，多项式的判别式等于：
:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math>

其中<math>r_1,\cdots,r_n\,</math>是多项式<math>p(x)\,</math>的[[複數 (數學)|複]]根（重根按重数计算）：
:<math>\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}</math>

在这个表达式中可以清楚地看到<math>p\,</math>有重根[[当且仅当]]判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的[[体 (数学)|域]]中定义，定义方式一样。带有根<math>r_i\,</math>的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个[[分裂域]]中取。

== 圆锥曲线的判别式 ==

对于以下多项式所定义的[[圆锥曲线]]：

:<math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0</math>

它的判别式为：
:<math>b^2-4ac</math>

它决定了圆锥曲线的[[形状]]。如果判别式小于0，则是[[椭圆]]或[[圆]]。如果判别式等于0，则是一条[[抛物线]]。如果大于0，则是[[双曲线]]。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

== 二次型的判别式 ==
判别式的概念可以推广到任意[[特征 (代数)|特征]]不为2的域''K''上的[[二次型]]''Q''上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和： 
: <math>Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2</math>

其中''L''<sub>''i''</sub>是''n''个变量的线性组合。这时可以定义''Q''的判别式为所有''a''<sub>''i''</sub>的乘积。另外一个定义是''Q''所对应的矩阵的[[行列式]]。

== 代数数域的判别式 ==
{{main|代数数域的判别式}}

== 参见 ==
* [[二次函数]]
* [[一元二次方程]]
* [[多项式]]
* [[圆锥曲线]]
* [[二次型]]

== 参考资料与外部链接 ==
* [http://www.math.pku.edu.cn:81/misc/course/algebra/download/226.doc 结式与判别式的关系]{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Mathworld中的文献]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html |date=20080915084049 }}
* [https://web.archive.org/web/20080714105224/http://planetmath.org/encyclopedia/Discriminant.html Planetmath中的文献]
{{多项式}}
[[Category:多项式|P]]
[[Category:圆锥曲线|P]]
[[Category:二次型|P]]
[[Category:行列式|P]]
[[Category:代数数论|P]]