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在[[一般拓扑学]]与数学的相关领域中，给定集合<math>X</math>与<math>X</math>上的一族函数，其'''初拓扑'''（initial topology）是使得这一族函数[[连续函数#拓扑空间之间的连续函数|连续]]的[[拓撲比較|最粗糙]]拓扑。

[[子空間拓撲]]与[[積拓撲]]都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑[[對偶 (數學)|对偶]]的结构稱為[[终拓扑]]。

==定义==
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <math>X</math> 為[[拓扑空间|集合]]，設有一[[集合族]] [[拓扑空间|<math>\mathcal{Y}</math>]] 與其指標集 [[拓扑空间|<math>I</math>]] ：

:[[拓扑空间|<math>I \, \overset{Y}{\cong}\,\mathcal{Y}</math>]]

還有一族與之相對應的[[拓扑空间#开集系|拓扑]] [[拓扑空间|<math>\mathfrak{T}</math>]] ：

:<math> I \,\overset{\tau}{\cong}\,\mathfrak{T}</math>

:<math>(\forall i \in I)
\left[
    \tau_i \text{ is a topology of } Y_i
\right]</math>

和一[[函数]]族 [[拓扑空间|<math>\mathcal{F}</math>]] ：

:[[拓扑空间|<math> I \,\overset{f}{\cong}\,\mathcal{F}</math>]]
:[[拓扑空间|<math>(\forall i \in I)
\left(
    f_i:X \to Y_i
\right)</math>]]

那 <math>X</math> 上關於 [[拓扑空间|<math>\mathcal{F}</math>]] 的'''初拓扑''' <math>\tau_{\mathcal{F}}</math>，定義為「對所有 <math>i \in I</math> ， <math>f(i)</math> 為 <math>\tau_{\mathcal{F}}</math> - <math>\tau_i</math> [[连续函数#拓扑空间之间的连续函数|连续]]」的[[拓撲比較|最粗糙]]拓扑。
}} 

{{Math theorem
| name = 定理
| math_statement = 若 <math>\tau_{\mathcal{F}}</math> 是上述定義所說， <math>X</math> 上關於 [[拓扑空间|<math>\mathcal{F}</math>]] 的初拓扑，取：

:[[拓扑空间|<math>\mathcal{B}
:=
\left\{
B\,|\,
(\exists i \in I)(\exists O \in \tau_i)[B = {f_i}^{-1}(O)]
\right\} </math>]]

那 [[拓扑空间|<math>\mathcal{B} </math>]] 是 <math>X</math> 的[[基 (拓撲學)|拓撲基]]，且 <math>\tau_{\mathcal{F}}</math> 就是由 [[拓扑空间|<math>\mathcal{B} </math>]] 所生成的拓扑。
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|因為：
:<math>(\forall i \in I)\{[X = f^{-1}(Y_i)] \wedge (Y_i \in \tau_i)\} </math>

所以：

:<math>\left( X = \bigcup \{X\} \right)
\wedge
(\{X\} \subseteq \mathcal{B}) </math>

另外對於任意<math>i \in I </math>，和任意 <math>V, W \in \tau_i </math> 有：

:<math>{f_i}^{-1}(V \cap W) = {f_i}^{-1}(V) \cap {f_i}^{-1}(W)</math>

這樣，因為 [[拓扑空间|<math>V \cap W \in \tau_i
 </math>]] ，所以：

:<math>{f_i}^{-1}(V) \cap {f_i}^{-1}(W) \in \mathcal{B}</math>

根據以上所述， <math>\mathcal{B}  </math> 的確是 <math>X  </math> 的拓撲基。

另外，對任意 <math>X  </math> 上的拓撲 <math>\tau</math> 來說，「對所有 <math>i \in I</math> ， <math>f(i)</math> 為  <math>\tau</math> - <math>\tau_i</math> [[连续函数#拓扑空间之间的连续函数|连续]]」等價於：

:「對所有 <math>i \in I</math> ，和所有 <math>O \in \tau_i</math> ， <math>{f_i}^{-1}(O) \in \tau</math>」

也就等價於：

:<math>\mathcal{B} \subseteq \tau</math>

這樣根據[[基 (拓撲學)#重要性質|拓撲基的性質(1)]]，<math>\tau_{\mathcal{F}}</math> 就是 <math>\mathcal{B}</math> 所生成的拓撲，至此本定理得證。<math>\Box</math>
|}
上述拓扑基 <math>\mathcal{B}</math> 裡的元素通常被稱為{{Le|圓柱集合|Cylinder set}}（{{Lang|en|'''cylinder set'''}}）。

==实例==
*[[子空间拓扑]]是在子空間上，关于[[包含映射]]的初拓扑。
*[[積拓撲]]是关于一族[[投影映射]]的初拓扑。
*{{le|局部凸拓撲向量空間|Locally convex topological vector space}}的{{le|弱拓扑|Weak topology}}是关于映射至其[[对偶空间]]的[[连续线性算子]]的初拓扑。

==性质==
===特征性质===
给出任意拓扑空间<math>Z</math>，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：<br>从<math>Z</math>到<math>X</math>的映射<math>g</math>是连续的，当且仅当 <math>f_i \circ g</math> 是连续的。<br>
===Evaluation===
===从闭集分离点===
称<math>f_i : X \rightarrow Y_i</math>从闭集分离点，如果<math>X</math>中任意闭集<math>A</math>，与任意不属于<math>A</math>的点<math>x</math>，<math>\exists i \in I</math>，使得<br><math>f_i(x)\notin \operatorname{cl}(f_i(A))</math> <br>这里的''cl''是[[闭包 (拓扑学)|闭包算子]]。<br>

关于初拓扑有如下定理：<br>一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合<math>X</math>的一个基。<br>

从这个定理可以得到，如果<math>X</math>上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由<math>f^{-1}(U)</math>为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合<math>X</math>的一个基。<br>

==参考资料==
*{{cite book | last = Willard | first = Stephen | title = General Topology | publisher = Addison-Wesley | location = Reading, Massachusetts | year = 1970 | isbn = 0-486-43479-6}}
*{{planetmath reference|id=7368|title=Initial topology|urlname=initialtopology}}
*{{planetmath reference|id=7504|title=Product topology and subspace topology|urlname=producttopologyandsubspacetopology}}

[[Category:拓扑学]]