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在[[數學]]裏，'''初值問題'''是一個涉及[[微分方程式]]與一些[[初始條件]]的問題；這初始條件是微分方程式的未知[[函數]]在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：
:<math> y' = 0.85 y,\qquad y(0) = 19 </math>
:<math>\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3</math>

== 定義 ==
一個'''初值問題'''涉及[[微分方程式]]
:<math>y'(t)=f(t,\ y(t))\quad\text{with}\quad f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\!</math> ，

與在 <math>f\,\!</math> 的定義域內的一點
:<math>(t_0,\ y_0) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\!</math> 。

這在 <math>f\,\!</math> 的定義域內的點 <math>(t_0,\ y_0)\,\!</math> 稱為'''初始條件'''。

*假若初值問題的一個解是函數 <math>y\,\!</math> ，則 <math>y\,\!</math> 是微分方程式 <math>y'(t) = f(t,\ y(t))\,\!</math> 的解，滿足 <math>y(t_0) = y_0\,\!</math> 。

*對於更高階的問題，可視 <math>\mathbf{y}\,\!</math> 為[[向量]]。每加高一個階，就増添一個分量給 <math>\mathbf{y}\,\!</math> 。

== 解的存在性及唯一性 ==
對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括''t''<sub>0</sub>及''y''<sub>0</sub>的區間內連續，且對變數''y''滿足[[利普希茨連續]]的條件．則[[皮卡-林德勒夫定理]]可保證在一個包括''t''<sub>0</sub>的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的[[積分方程]]，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的[[不動點]]，再利用[[巴拿赫不动点定理]]證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家{{link-ja|岡村博|岡村博}}找到一個初值問題有唯一解的[[充分必要條件]]，其條件是要證實系統的[[李亞普諾夫函數]]存在<ref>{{cite journal | last=Okamura | first=Hirosi | title=Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano | journal=Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. | volume=24 | year=1942 | language=fr | pages=21–28 }}</ref>。

有些情形，函數ƒ不是[[光滑函数]]，甚至不是[[利普希茨連續]]，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。[[皮亚诺存在性定理]]可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性<ref>{{cite book | author=Coddington, Earl A. and Levinson, Norman | title=Theory of ordinary differential equations | publisher=McGraw-Hill Book Company, Inc. | location=New York-Toronto-London | year=1955 }}Theorem 1.3</ref><ref>{{cite book | last=Robinson | first=James C. | title=Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | year=2001 | isbn=0-521-63204-8 }}Theorem 2.6</ref>。{{link-en|卡拉特歐多存在性定理|Carathéodory existence theorem}}可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

==範例==
;例一
一個簡單的範例是求解<math>y' = 0.85 y</math>及<math>y(0) = 19</math>，要求出一個<math>y(t)</math>滿足上述二式。

由於<math>y' = \frac{dy}{dt}</math>，因此

: <math>\frac{dy}{dt} = 0.85 y</math>

接下來重新整理方程式，使<math>y</math>在等式左邊，<math>t</math>在等式右邊

: <math>\frac{dy}{y} = 0.85dt</math>

再將等式二邊積分，會引入未知常數<math>B</math>

: <math>\ln | y | = 0.85t + B </math>

消去<math>\ln</math>

: <math> | y | = e^Be^{0.85t} </math>

令<math>C</math>為一個新的未知常數，<math>C = \pm e^B</math>，因此

: <math> y = Ce^{0.85t} </math>

現在需要找出<math>C</math>的數值。利用<math>y(0) = 19</math>的啟始條件，將<math>t</math>代入0，<math>y</math>代入19 

: <math> 19 = C e^{0.85 * 0}</math>
: <math> C = 19 </math>

因此可得其解為<math> y(t) = 19e^{0.85t}</math>.

;例二
: <math>\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3</math>

利用[[拉普拉斯变换]]
: <math>sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \frac{6}{s^2} + \frac{5}{s}</math> 
: <math>\therefore Y(s) = \frac{y(0)s^2 + 5s + 6}{s^{2}(s+3)}</math>

利用[[部分分式分解]]
: <math>Y(s) = \frac{\alpha}{s} + \frac{\beta}{s^2} +\frac{\gamma}{s+3}</math>
: <math>\alpha=1,\beta=2,\gamma=y(0)-1</math>
: <math>Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} +\frac{y(0)-1}{s+3}</math>

拉普拉斯逆變換
: <math>y(t)=2e^{-3t}+2t+1 \,</math>
== 參閱 ==
*[[邊值問題]]
*[[柯西问题]]
*[[積分常數]]

==參考資料==
{{reflist}}

{{Authority control}}
[[Category:邊界條件]]