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[[动力系统]]理论中，'''刘维尔–阿诺德定理'''指出，若在具有''n''[[自由度 (工程学)|自由度]]的[[哈密顿力学]]系统中，存在''n''个泊松交换的独立第一[[运动常数|运动积分]]，且能级集是紧的，则就存在到[[作用量-角度坐标]]的[[正则变换]]，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过[[化方]]求解。定理得名于[[约瑟夫·刘维尔]]和[[弗拉基米尔·阿诺德]]。<ref>J. Liouville, « Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 », ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées|JMPA]]'', 1855, {{p.|137-138}}, [http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1855_1_20_A11_0.pdf pdf] {{Wayback|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1855_1_20_A11_0.pdf |date=20210911200224 }}</ref><ref name="Benatti2009">{{cite book|author=Fabio Benatti|title=Dynamics, Information and Complexity in Quantum Systems|url=https://books.google.com/books?id=zTFiCm4Yq1cC&pg=PA16|year=2009|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=978-1-4020-9306-7|page=16}}</ref><ref name="Rodriguez">{{cite book |editor=P. Tempesta |editor2=P. Winternitz |editor3=J. Harnad |editor4=W. Miller Jr |editor5=G. Pogosyan |editor6=M. Rodriguez|title=Superintegrability in Classical and Quantum Systems|url=https://books.google.com/books?id=1Yke_LPQTd8C&pg=PA48|year=2004|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-7032-7|page=48}}</ref><ref name="JonesKhibnik2012">{{cite book|editor1=Christopher K. R. T. Jones|editor2=Alexander I. Khibnik|title=Multiple-Time-Scale Dynamical Systems|url=https://books.google.com/books?id=LYLkBwAAQBAJ&pg=PA1|year=2012|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=978-1-4613-0117-2|page=1}}</ref><ref name=Arnold1989>{{cite book|last=Arnold|first=V. I.|title=Mathematical Methods of Classical Mechanics|year=1989|publisher=Springer|isbn=9780387968902|url-access=registration|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno}}</ref>{{rp|pages=270–272}}

== 历史 ==
定理的原始形式是刘维尔于1853年针对<math>\mathbb{R}^{2n}</math>上具有规范[[辛结构]]的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到[[辛流形]]的推广。

== 陈述 ==
=== 初步定义 ===
令<math>(M^{2n}, \omega)</math>是<math>2n</math>维辛流形，具有辛结构<math>\omega</math>。

<math>M^{2n}</math>上的可积系统是<math>M^{2n}</math>上的''n''个函数组成的集合，记作<math>F = (F_1, \cdots, F_n)</math>，满足
* （一般）线性独立：稠密集上<math>dF_1\wedge \cdots \wedge dF_n \neq 0</math>
* 相互泊松交换：[[泊松括号]]<math>(F_i, F_j)</math>对任意一对<math>i,j</math>都为0
泊松括号是每个<math>F_i</math>对应的[[哈密顿向量场]]的[[李氏括号]]。简单说，若<math>X_H</math>是对应于光滑函数<math>H: M^{2n} \rightarrow \mathbb{R}</math>的哈密顿向量场，则对两光滑函数<math>F, G</math>，泊松括号是<math>(F,G) = [X_F, X_G]</math>。

若<math>df_1\wedge \cdots \wedge df_n(p) \neq 0</math>，则称点''p''是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数<math>F: M^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n</math>。<math>L_{\mathbf{c}}</math>表示函数<math>F_i</math>的水平集
<math display = block>L_\mathbf{c} = \{x:F_i(x) = c_i\},</math>
或记作<math>L_\mathbf{c} = F^{-1}(\mathbf{c})</math>。

若给<math>M^{2n}</math>附加一个区分函数''H''的结构，则当''H''可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统<math>F = (F_1 = H, F_2, \cdots, F_n)</math>），哈密顿系统<math>(M^{2n}, \omega, H)</math>是可积的。

=== 定理 ===
若<math>(M^{2n}, \omega, F)</math>是可积哈密顿系统、''p''是正则点，则定理描述了正则点的像<math>c = F(p)</math>的水平集<math>L_c</math>：
* <math>L_c</math>是光滑流形，在由<math>H = F_1</math>引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
* 若<math>L_c</math>更紧且连通，则就[[微分同胚]]于N-[[环面]]<math>T^n</math>。
* <math>L_c</math>上存在（局部）坐标<math>(\theta_1, \cdots, \theta_n, \omega_1, \cdots, \omega_n)</math>，使得<math>\omega_i</math>在水平集上为常，而<math>\dot \theta_i := (H,\theta_i) = \omega_i</math>。这些坐标称作[[作用量-角度坐标]]。

== 刘维尔可积系统例子 ==
可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是<math>\mathbb{R}^{2n}</math>时，其坐标通常写作<math>(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n)</math>，规范辛形式是<math>\omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i</math>。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

* '''哈密顿[[谐振子]]'''：<math>(\mathbb{R}^{2n}, \omega, H)</math>，其中<math>H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \sum_i \left(\frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_i^2q_i^2\right)</math>。定义<math>H_i = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_i^2q_i^2</math>，可积系统是<math>(H, H_1, \cdots, H_{n-1})</math>。

* '''[[连心力]]系统'''<math>(\mathbb{R}^{6}, \omega, H)</math>，其中<math>H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - U(\mathbf{q}^2)</math>，''U''是某势函数。定义角动量<math>\mathbf{L} = \mathbf{p}\times\mathbf{q}</math>，可积系统是<math>(H, \mathbf{L}^2, L_3)</math>。

* '''可积陀螺'''：{{le|拉格朗日、欧拉、柯瓦列夫斯卡娅陀螺|Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops}}是刘维尔可积的。

== 另见 ==
* [[弗罗贝尼乌斯定理]]
* [[可积系统]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Liouville-Arnold theorem}}
[[Category:哈密顿力学]]
[[Category:动力系统定理]]