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{{Refimprove|time=2020-10-20T00:42:52+00:00}}
[[Image:Chebyshev linkage.gif|right|180px|切比雪夫連桿機構]]
'''切比雪夫連桿機構'''（Chebyshev linkage）是一種可將旋轉運動轉換為近似[[直線運動]]的连杆机构，屬於[[平面四杆机构]]，且其構形中有出現交叉四邊形。

切比雪夫連桿機構是由十九世紀的數學家[[巴夫努提·列沃維奇·切比雪夫]]所發明，他研究的主題是[[運動學]]的理論問題。其中一個問題是建構可以將旋轉運動轉換為近似直線運動的連桿。[[詹姆斯·瓦特]]在改進其[[蒸汽机]]時，也曾研究過此一主題<ref>[http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=140 Cornell university] {{Wayback|url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=140 |date=20170316151330 }} - Cross link straight-line mechanism</ref>。

直線運動的連桿會限制點''P''–杆''L''<sub>3</sub>的中點–在二個極限位置中間的直線上。（''L''<sub>1</sub>, ''L''<sub>2</sub>, ''L''<sub>3</sub>和''L''<sub>4</sub>如圖所示）。在這段行程範圍中，''P''的軌跡近似直線，只有少許的偏移。各桿的比例為

: <math>L_1 : L_2 : L_3 = 2 : 2.5 : 1 = 4 : 5 : 2. \, </math>

點P是''L''<sub>3</sub>的中點。上述關係確保當連桿在直線行程的極限位置時，''L''<sub>3</sub>會是垂直的。<ref name=gezimbasha>[http://www.gezimbasha.com/rotation-to-approximate-translation-using-the-chebyshev-linkage/ Gezim Basha] {{Wayback|url=http://www.gezimbasha.com/rotation-to-approximate-translation-using-the-chebyshev-linkage/ |date=20140819084212 }} - Rotation to approximate translation using the Chebyshev Linkage</ref> 

各桿長度的關係如下：
 
: <math>L_4=L_3+\sqrt{L_2^2 - L_1^2}. \, </math>

可以證明若各桿的比例如上，則下式成立

: <math> L_4 = L_2. \, </math>

且可以讓''P''有近似直線的軌跡。

==運動方程==
可以找出連桿隨輸入角變化的運動方程，隨著輸入角的變化，其速度及受力也隨之改變。輸入角可以是''L''<sub>2</sub>相對水平線的角度，或是''L''<sub>4</sub>相對水平線的角度。不論輸入角為何，都可以計算連桿''L''<sub>3</sub>中點的軌跡，假設''L''<sub>3</sub>靠右側的端點為A，靠左側的端點為B，而其中點為P，以''L''<sub>2</sub>不動的端點為原點，可得A的方程<ref name=gezimbasha/>：

: <math> x_A =  L_2\cos(\varphi_1) \, </math>
: <math> y_A =  L_2\sin(\varphi_1) \, </math>

點B的運動可以用另一個角來計算

: <math> x_B =  L_1 - L_4\cos(\varphi_2) \, </math>
: <math> y_B =  L_4\sin(\varphi_2) \, </math>

最終，可以得到輸出角和輸入角之間的關係：

: <math> \varphi_2 = \arcsin\left[\frac{L_2\,\sin(\varphi_1)}{\overline{A O_2}}\right] - \arccos\left(\frac{L_4^2 + \overline{A O_2}^2 -L_3^2}{2\,L_4\,\overline{A O_2}}\right) \, </math>

其中的<math>\overline{A O_2}</math>是A點和O<sub>2</sub>點之間的直線距離。

: <math> \overline{A O_2} = \sqrt{L_1^2 + L_2^2 - 2 L_1 L_2 \cos(\varphi_1)}\, </math>

依照上式可以寫出P點的方程。

: <math> x_P = \frac{x_A + x_B}{2} \, </math>
: <math> y_P = \frac{y_A + y_B}{2} \, </math>

===輸入角===
[[File:Chebyshev linkage Limit of input L2.svg|upright=0.5|thumb|極限位置的說明]]
在維持近似直線運動的情形下，輸入角的極限分別是：
: <math> \varphi_{\text{min}} =  \arccos\left( \frac{4}{5}\right) \approx 36.8699^\circ. \, </math>
: <math> \varphi_{\text{max}} = \arccos\left( \frac{-1}{5}\right) \approx 101.537^\circ. \, </math>

==相關條目==
[[File:Chebyshev-mechanism.gif|right|thumb|切比雪夫λ連桿機構（藍色和綠色）可以產生幾乎直線的軌跡]]
*{{le|切比雪夫λ連桿機構|Chebyshev's Lambda Mechanism}}
*{{le|瓦特氏直線運動機構|Watt's linkage}}，類似的直線機構。
*[[直線運動機構]]
*{{le|Scott Russell機構|Scott Russell linkage}}
*{{le|霍肯連桿機構|Hoeckens linkage}}：產生近似直線軌跡的四桿機構
*[[波塞利耶-利普金机械]]：產生直線軌跡的八桿機構

==參考資料==
{{Reflist}}

==外部連結==
{{commonscat|Chebyshev linkage}}
*[http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Kemp009&view=50&frames=0&seq=21 Cornell university, ''"How to draw a straight line, by A.B. Kempe, B.A."''] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Kemp009&view=50&frames=0&seq=21 |date=20060617044305 }}
*[http://mw.concord.org/modeler1.3/mirror/mechanics/peaucellier.html A simulation] {{Wayback|url=http://mw.concord.org/modeler1.3/mirror/mechanics/peaucellier.html |date=20110725190957 }} using the Molecular Workbench software
*[http://www.geogebratube.org/material/show/id/144265 A Geogebra] simulation of the linkage
*[https://scholarworks.rit.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=5662&context=theses Kinematic analysis and synthesis of four-bar mechanisms for straight line coupler curves] {{Wayback|url=https://scholarworks.rit.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=5662&context=theses |date=20201021021230 }} 
[[Category:連桿]]
[[Category:直線運動]]