切比雪夫連桿機構

切比雪夫連桿機構（Chebyshev linkage）是一種可將旋轉運動轉換為近似直線運動的连杆机构，屬於平面四杆机构，且其構形中有出現交叉四邊形。

切比雪夫連桿機構是由十九世紀的數學家巴夫努提·列沃維奇·切比雪夫所發明，他研究的主題是運動學的理論問題。其中一個問題是建構可以將旋轉運動轉換為近似直線運動的連桿。詹姆斯·瓦特在改進其蒸汽机時，也曾研究過此一主題^[1]。

直線運動的連桿會限制點P–杆L₃的中點–在二個極限位置中間的直線上。（L₁, L₂, L₃和L₄如圖所示）。在這段行程範圍中，P的軌跡近似直線，只有少許的偏移。各桿的比例為

L_{1} : L_{2} : L_{3} = 2 : 2.5 : 1 = 4 : 5 : 2 .

點P是L₃的中點。上述關係確保當連桿在直線行程的極限位置時，L₃會是垂直的。^[2]

各桿長度的關係如下：

L_{4} = L_{3} + \sqrt{L_{2}^{2} - L_{1}^{2}} .

可以證明若各桿的比例如上，則下式成立

L_{4} = L_{2} .

且可以讓P有近似直線的軌跡。

運動方程

可以找出連桿隨輸入角變化的運動方程，隨著輸入角的變化，其速度及受力也隨之改變。輸入角可以是L₂相對水平線的角度，或是L₄相對水平線的角度。不論輸入角為何，都可以計算連桿L₃中點的軌跡，假設L₃靠右側的端點為A，靠左側的端點為B，而其中點為P，以L₂不動的端點為原點，可得A的方程^[2]：

x_{A} = L_{2} \cos (φ_{1})

y_{A} = L_{2} \sin (φ_{1})

點B的運動可以用另一個角來計算

x_{B} = L_{1} - L_{4} \cos (φ_{2})

y_{B} = L_{4} \sin (φ_{2})

最終，可以得到輸出角和輸入角之間的關係：

φ_{2} = \arcsin [\frac{L_{2} \sin (φ_{1})}{\overline{A O_{2}}}] - \arccos (\frac{L_{4}^{2} + \overset{2}{\overline{A O_{2}}} - L_{3}^{2}}{2 L_{4} \overline{A O_{2}}})

其中的 $\overline{A O_{2}}$ 是A點和O₂點之間的直線距離。

\overline{A O_{2}} = \sqrt{L_{1}^{2} + L_{2}^{2} - 2 L_{1} L_{2} \cos (φ_{1})}

依照上式可以寫出P點的方程。

x_{P} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}

y_{P} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}

在維持近似直線運動的情形下，輸入角的極限分別是：

φ_{min} = \arccos (\frac{4}{5}) \approx 36.869 9^{\circ} .

φ_{max} = \arccos (\frac{- 1}{5}) \approx 101.53 7^{\circ} .

↑ Cornell university Template:Wayback - Cross link straight-line mechanism
↑ ^2.0 ^2.1 Gezim Basha Template:Wayback - Rotation to approximate translation using the Chebyshev Linkage