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[[File:Chebyshev_response.png|thumb|350px|四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图]]

'''切比雪夫滤波器'''（又译'''柴比雪夫滤波器，{{lang-en|chebyshev filter}}'''），也被稱為'''等漣波濾波器'''（'''equal ripple filter'''），是在通带或阻带上[[频率响应]]幅度等波纹波动的[[滤波器]]。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比[[巴特沃斯滤波器]]的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自[[切比雪夫多项式]]，因此得名，用以纪念[[俄罗斯]]数学家[[巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫]]（Пафнутий Львович Чебышёв）。

==特性==

===I型切比雪夫滤波器===

I型切比雪夫滤波器最为常见。

'''n'''阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示<ref name=rs>Rolf Schaumann et al, p295</ref>：


:<math>G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}</math>

其中：
* <math>|\epsilon| < 1</math> 
*而<math>|H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}</math> 是滤波器在[[截止频率]]<math>\omega_0</math>的放大率{{Citation needed| (''注意'': 常用的以幅度下降3[[分贝]]的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)|time=2022-01-23T09:20:35+00:00}}
* <math>T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)</math> 是 <math>n</math>阶[[切比雪夫多项式]]<ref name=rs1>Rolf Schaumann  p295-298</ref>：

====切比雪夫多项式====
[[File:Chebyshev polynomial.gif|thumb|300px|切比雪夫多项式]]
:<math>T_n (\Omega ) = \cos(n\cdot\arccos\ \Omega) ; 0 \le \Omega \le 1</math>
:<math>T_n (\Omega ) = \cosh(n\cdot \operatorname(arccosh \Omega ) ; \Omega >  1</math>

其中 <math>\Omega =\frac{\omega}{\omega_0}</math>


或:

:<math>T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0}  + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0</math>
:<math>T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n +
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n}
}{2} ; \omega >  \omega_0</math>

{| class="wikitable"
|-
! n !! 切比雪夫多项式
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || <math>\Omega</math>
|-
| 2 || <math>-1 +2*\Omega^2  </math>
|-
| 3 || <math>  4\Omega^3-3\Omega                     </math>
|-
| 4 || <math> 1+8\Omega^4-8\Omega^2                      </math>
|-
| 5 || <math>16\Omega^5-20\Omega^3+5\Omega                       </math>
|-
| 6 || <math> -1+32\Omega^6-48\Omega^4+18*\Omega^2                      </math>
|-
| 7 || <math>64\Omega^7-112\Omega^5+56\Omega^3-7\Omega                       </math>
|-
| 8 || <math> 1+128\Omega^8-256\Omega^6+160\Omega^4-32\Omega^2                      </math>
|-
| 9 || <math> 256\Omega^9-576\Omega^7+432\Omega^5-120\Omega^3+9\Omega                      </math>
|-
|10 ||<math>-1+512\Omega^{10}-1280\Omega^8+1120\Omega^6-400\Omega^4+50\Omega^2</math>
|-
|}




'''切比雪夫滤波器'''的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。


切比雪夫滤波器的幅度波动 = <math>20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}</math>[[分贝]]

当 <math>\epsilon = 1</math>,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 <math>j\omega</math>轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫[[椭圆函数滤波器]]或考尔滤波器。

===II型切比雪夫滤波器===

也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。
  
II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

:<math>\left | H(\omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}</math>

参数 &epsilon; 与 [[阻频带]]的 [[衰减度]] &gamma; 有如下关系：

:<math>\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}}</math> 分贝。

5分贝衰减度相当于&epsilon; = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 &epsilon; = 0.3333。

''截止频率'' ''f<sub>C</sub> = &omega;<sub>C</sub>/2 &pi;''。

'''-3分贝频率'''f<sub>H</sub> 和''截止频率'' f<sub>C</sub> 有如下关系：

:<math>f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)</math>

== 使用范围 ==

* 如果需要快速衰减而允许[[通频带]]存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许[[通频带]]存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

==与其他滤波器的比较==

下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）[[巴特沃斯滤波器]]、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）[[椭圆函数滤波器]]。

[[File:Electronic_linear_filters.svg|500px|center]]

两类'''切比雪夫滤波器'''比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如[[椭圆函数滤波器]]，然而后者幅度波动较大。

==参考==
* [[贝塞耳滤波器]]
* [[巴特沃斯滤波器]]
* [[梳状滤波器]]
* [[椭圆函数滤波器]]

==参考文献==
<references/>
*Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van  Valkenburg,  Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford  University Press, 2013
*Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978

[[Category:電子學]]
[[Category:线性滤波器]]