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'''切比雪夫方程'''（{{lang-en|Chebyshev equation}}）是指二阶线性[[常微分方程]]
:<math>(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0 </math>
其中p为一实常数。该方程是以[[俄罗斯]]数学家[[巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫|巴夫尼提·切比雪夫]]的名字命名的。

方程的解为[[幂级数]]
:<math>y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>

其中系数可通过以下[[递推关系式]]计算：
:<math> a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n. </math>

级数在<math>x\in [-1, 1]</math>上收敛（对递推关系式应用[[比值审敛法]]可得）。

递推关系的初值a<sub>0</sub>与a<sub>1</sub>可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为：
:a<sub>0</sub> = 1 ; a<sub>1</sub> = 0，可得解
:<math>F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots </math>
以及
:a<sub>0</sub> = 0 ; a<sub>1</sub> = 1，可得解
:<math>G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots. </math>

通解可表示为以上两特解的任意线性组合。

当p为整数时，两个函数中有一个为有限项：p为偶数时F为有限项，反之G为有限项。此时，那个为有限项的函数是一个p次多项式，并与p次[[切比雪夫多项式]]成比例：
:<math>T_p(x) = (-1)^{p/2}\ F(x)\,</math> （p为偶数）
:<math>T_p(x) = (-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,</math> （p为奇数）

== 参考文献 ==
* [http://planetmath.org/chebyshevequation Chebyshev equation on PlanetMath] {{Wayback|url=http://planetmath.org/chebyshevequation |date=20200803130423 }}

[[Category:常微分方程]]