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'''切比雪夫多项式'''（{{lang-en|Chebyshev polynomials}}）是与[[棣莫弗定理]]有关，以[[递归定义]]的一系列[[正交多项式]]序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号''T''<sub>''n''</sub>表示， 第二类切比雪夫多项式用''U''<sub>''n''</sub>表示。切比雪夫多项式 ''T''<sub>''n''</sub> 或 ''U''<sub>''n''</sub> 代表'' n ''阶多项式。

切比雪夫多项式在[[逼近理论]]中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低[[龙格现象]]，并且提供多项式在[[连续|连续函数]]的最佳一致逼近。

在[[微分方程]]的研究中，[[切比雪夫]]提出[[切比雪夫微分方程]]：

:<math>(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0</math>
和
:<math>(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0</math>

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是[[斯图姆-刘维尔微分方程]]的特殊情形。

== 定义 ==

'''第一类切比雪夫多项式'''由以下递推关系确定

:<math>T_0(x) = 1 \,</math>
:<math>T_1(x) = x \,</math>
:<math>T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,</math>

也可以用[[母函数]]表示

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.</math>

'''第二类切比雪夫多项式'''由以下[[遞迴關係式|递推关系]]给出

:<math>U_0(x) = 1 \,</math>
:<math>U_1(x) = 2x \,</math>
:<math>U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,</math>

此时[[母函数]]为

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.</math>

== 从三角函数定义 ==
[[File:Chebyshev polynomial.gif|thumb|350px|切比雪夫多项式]]
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

:<math>T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,</math>

其中 ''n'' = 0, 1, 2, 3, .... . <math>\cos n\theta \,</math> 是关于 <math>\cos\theta \,</math> 的 ''n''次多项式，这个事实可以这么看：  <math>\cos n\theta \,</math>是:<math>(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,</math>的实部（参见[[棣莫弗公式]]），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含<math>\sin\theta \,</math>的项中，<math>\sin\theta \,</math>都是偶数次的，从而可以表示成 <math>1-\cos^2\theta \,</math>的幂 。

用显式来表示
:<math>T_n(x) = 
\begin{cases} 
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases}
</math> 

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(''z''), cosh(''z'')以及他们的反函数，则有

:<math>
\begin{matrix}
T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\
& = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x))
\end{matrix}
\ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.
</math>

类似，第二类切比雪夫多项式满足

:<math> U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}. </math>

== 以佩尔方程定义 ==
切比雪夫多项式可被定义为[[佩尔方程]]
:<math>T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!</math>
在多项式环R[''x''] 上的解(e.g., 见 [https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf Demeyer (2007)], p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
:<math>T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!</math>

== 递归公式 ==

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

:<math>T_0(x) = 1</math>
:<math>U_{-1}(x) = 1</math>
:<math>T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)</math>
:<math>U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)</math>

证明的方式是在下列三角关系式中用<math>\cos\vartheta</math> 代替<math>x</math>

:<math>T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {}</math><math> \cos((n + 1)\vartheta) = {}</math><math> \cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {}</math><math> T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {}</math><math> xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x) </math>

== 正交性 ==

''T''<sub>''n''</sub> 和''U''<sub>''n''</sub> 都是区间[−1,1] 上的[[正交多项式]]系. 

第一类切比雪夫多项式带权
:<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},</math>

即:

:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~~~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right.
</math>

可先令''x=''&nbsp;cos(θ) 利用
''T<sub>n</sub>''&nbsp;(cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 

类似地，第二类切比雪夫多项式带权
:<math>\sqrt{1-x^2}</math>

即:

:<math>\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = 
\begin{cases}
0     &: n\ne m\\
\pi/2 &: n=m
\end{cases}
</math>

其[[正交化]]后形成的[[随机变量]]是 [[Wigner 半圆分布]]).

== 基本性质 ==

对每个非负整数<math>n</math>， <math>T_n(x)</math> 和 <math>U_n(x)</math> 都为 <math>n</math>次多项式。 
并且当<math>n</math>为偶（奇）数时，它们是关于<math>x</math> 的偶（奇）函数， 在写成关于<math>x</math>的多项式时只有偶（奇）次项。

<math>n \ge 1</math>时，<math>T_n</math> 的最高次项系数为 <math>2^{n-1}</math> ，<math>n = 0</math>时系数为<math>1</math> 。

== 最小零偏差 ==

对<math>n \ge 1</math>，在所有最高次项系数为1的<math>n</math>次多项式中 ， <math>f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)</math> 对零的偏差最小，即它是使得<math>f(x)</math>在<math>[-1, 1]</math> 上绝对值的最大值最小的多项式。 
其绝对值的最大值为<math>\frac1{2^{n-1}}</math> ， 分别在<math>-1</math> 、 <math>1</math> 及 <math>f</math> 的其他 <math>n - 1</math> 个极值点上达到 。

== 两类切比雪夫多项式间的关系 ==

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

:<math>\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots</math>

:<math>T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)). </math>

:<math>T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,</math>

:<math>T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x). </math>

切比雪夫多项式是超球多项式或[[盖根堡多项式]]的特例, 后者是[[雅可比多项式]]的特例.


切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

:<math>2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots</math>

== 例子 ==

[[File:chebyshev.png|frame|前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是<font color=#333333>T<sub>0</sub></font>, <font color=#b30000>T<sub>1</sub></font>, <font color=#0000b3>T<sub>2</sub></font>, <font color=#00b300>T<sub>3</sub></font>, <font color=#b3b300>T<sub>4</sub></font> <font color=#b3b3b3>T<sub>5</sub></font>.]]

前几个第一类切比雪夫多项式是

:<math> T_0(x) = 1 \,</math>

:<math> T_1(x) = x \,</math>

:<math> T_2(x) = 2x^2 - 1 \,</math>

:<math> T_3(x) = 4x^3 - 3x \,</math>

:<math> T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,</math>

:<math> T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,</math>

:<math> T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,</math>

:<math> T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,</math>

:<math> T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,</math>

:<math> T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,</math>

[[File:chebyshev2.png|frame|前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是<font color=#333333>U<sub>0</sub></font>, <font color=#b30000>U<sub>1</sub></font>, <font color=#0000b3>U<sub>2</sub></font>, <font color=#00b300>U<sub>3</sub></font>, <font color=#b3b300>U<sub>4</sub></font> <font color=#b3b3b3>U<sub>5</sub></font>. 虽然图像中无法显示,我们实际有 U<sub>n</sub>(1)=n+1 以及 U<sub>n</sub>(-1)=(n+1)(-1)<sup>n</sup>.]]

前几个第二类切比雪夫多项式是

:<math> U_0(x) = 1 \,</math>

:<math> U_1(x) = 2x \,</math>

:<math> U_2(x) = 4x^2 - 1 \,</math>

:<math> U_3(x) = 8x^3 - 4x \,</math>

:<math> U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,</math>

:<math> U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,</math>

:<math> U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,</math>

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

:<math> T_n'(1) = n^2 \,</math>

:<math> T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,</math>

:<math> T_n''(1) = (n^4 - n^2)/3 \,</math>

:<math> T_n''(-1) = (-1)^n * (n^4 - n^2)/3 \,</math>

== 按切比雪夫多项式的展开式 ==

一个''N'' 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

:<math>p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)</math>

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 [[Clenshaw递推公式]]计算。

== 切比雪夫根 ==

两类的''n''次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有''n'' 个不同的根, 称为'''切比雪夫根''', 有时亦称做 {{Link-en|切比雪夫节点|Chebyshev nodes}} ，因为是多项式插值时的 ''插值点'' . 从三角形式中可看出''T''<sub>''n''</sub> 的''n''个根分别是：

:<math> x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.</math>

类似地， ''U''<sub>''n''</sub> 的''n''个根分别是：


:<math> x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.</math>

== 参看 ==

* {{Link-en|切比雪夫节点|Chebyshev nodes}}
* [[切比雪夫滤波器]]

== 参考 ==

* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,'' Chapter 22. New York: Dover, 1972.

{{Authority control}}
[[Category:特殊函数|C]]
[[Category:特殊超几何函数|C]]
[[Category:正交多項式]]
[[Category:数值分析]]