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{{log(x)}}
[[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|切比雪夫第二函數<math>\psi(x)</math>在{{math|''x'' < 50}}時的圖像]]
<!--[[Image:Chebyshev.svg|thumb|right|<math>\psi(x)-x</math>在{{math|''x'' < 10<sup>4</sup>}}時的圖像]]
[[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|<math>\psi(x)-x</math>在{{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}時的圖像]]-->

在[[數學]]上，'''切比雪夫函數'''（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

'''切比雪夫第一函數'''（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做<math>\vartheta(x)</math>或<math>\theta(x)</math>，其形式如下：

:<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p</math>

其中<math>\log</math>是[[自然對數]]，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於{{mvar|x}}的質數{{mvar|p}}的自然對數的總和。

'''切比雪夫第二函數'''（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做<math>\psi(x)</math>，其定義類似，為所有小於等於{{mvar|x}}的質數{{mvar|p}}的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

:<math>\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,</math>

其中<math>\Lambda</math>是[[馮·曼戈爾特函數]]。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數<math>\psi(x)</math>，經常出現於與[[質數]]相關的[[數學證明]]中，而這是因為這些函數比[[質數計數函數]]<math>\pi(x)</math>還容易處理之故。可見下[[等式]]一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與{{mvar|x}}呈現非病態關係，而這點等價於[[質數定理]]。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的'''切比雪夫加權標量化函數'''（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或'''切比雪夫效用函數'''（Chebyshev utility function），其形式如下：

:<math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).</math><ref name=JK>{{cite web|url=http://syllabus.cs.manchester.ac.uk/pgt/2017/COMP60342/COMP60342-2014-MOO.pdf|title=Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures|author=Joshua Knowles|date=2 May 2014|publisher=The University of Manchester|page=34|access-date=2023-12-07|archive-date=2022-12-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20221209200033/http://syllabus.cs.manchester.ac.uk/pgt/2017/COMP60342/COMP60342-2014-MOO.pdf|dead-url=no}}</ref>

藉由最小化這方程式不同<math>w</math>的數值，可得到{{link-en|帕累托前沿|Pareto front}}的每個點，甚至是非凸性的部分。<ref name=JK/>很多時候，要最小化的不是<math>f_i</math>，而是在給定標量<math>z_i^*</math>的狀況下<math>|f_i-z_i^*|</math>的數值，而在這種狀況下有<math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.</math>。<ref>{{cite journal |url=https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/30882193/FinalRevised_Improved_MOEA_D_for_BOPs_with_complicated_PFs.pdf |at=Page 6 equation (2) |title=An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization |last1=Ho-Huu |first1=V. |last2=Hartjes |first2=S. |last3=Visser |first3=H. G. |last4=Curran |first4=R. |journal=Expert Systems with Applications |doi=10.1016/j.eswa.2017.09.051 |publisher=Delft University of Technology |date=2018 |access-date=2023-12-07 |archive-date=2024-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240416014229/https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/30882193/FinalRevised_Improved_MOEA_D_for_BOPs_with_complicated_PFs.pdf |dead-url=no }}</ref>

這三個函數皆以[[帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫]]為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

==切比雪夫第一及第二函數的關係==
切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

:<math>\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p</math>

其中{{mvar|k}}是使得<math>p^k \le x < p^{k+1}</math>的唯一整數，而{{mvar|k}}的值可參見{{OEIS2C|id=A206722}}。一個更直接的關係如下：

:<math>\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).</math>

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

:<math>\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.</math>

切比雪夫第二函數是從1到{{mvar|n}}所有數的[[最小公倍數]]的自然對數：

:<math>\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.</math>

對於{{mvar|n}}而言，{{math|lcm(1, 2, ..., ''n'')}}的值可參見{{OEIS2C|id=A003418}}。

以下[[定理]]將<math>\frac{\psi(x)}{x}</math>及<math>\frac{\vartheta(x)}{x}</math>這兩個分數給聯繫起來。<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer |year=2010 |pages=75–76}}</ref>

'''定理：'''若<math>x>0</math>則有

:<math>0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.</math>

注意：從此[[不等式]]可推出

:<math>\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.</math>

換句話說，若<math>\psi(x)/x</math>或<math>\vartheta(x)/x</math>其中一個趨近某個[[函數極限|極限]]，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

'''證明：'''由於<math>\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})</math>，因此有

:<math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).</math>

而由<math>\vartheta(x)</math>的定義，可得以下明顯的不等式：

:<math>\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x</math>

因此有

:<math>\begin{align}
0\leq\psi(x)-\vartheta(x)&\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2 x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\
&\leq(\log_2 x)\sqrt{x}\log\sqrt{x}\\
&=\frac{\log x}{\log 2}\frac{\sqrt{x}}{2}\log x\\
&=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}.
\end{align}</math>

最後，將此不等式兩邊除以<math>x</math>，即可得定理的不等式。

==非病態關係及上下界==
對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中{{math|''p''<sub>''k''</sub>}}是第{{mvar|k}}個質數，也就是{{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} 2}}、{{math|''p''<sub>2</sub> {{=}} 3}}等等：{{ref|Dusart1999}}{{ref|Dusart2010}} 

:<math>\begin{align}
\vartheta(p_k) &\ge k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2.050735}{\log k}\right)&& \text{for }k\ge10^{11}, \\[8px]
\vartheta(p_k) &\le k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2}{\log k}\right)&& \text{for }k \ge 198, \\[8px]
|\vartheta(x)-x| &\le 0.006788\,\frac{x}{\log x}&& \text{for }x \ge 10\,544\,111, \\[8px]
|\psi(x)-x|&\le0.006409\,\frac{x}{\log x}&& \text{for } x \ge e^{22},\\[8px]
0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121.
\end{align}</math>

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的<math>\varepsilon > 0</math>而言，有以下關係式：

:<math>\begin{align}
|\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\
|\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big)
\end{align}</math>

對任意的<math>x > 0</math>而言，切比雪夫第一函數<math>\vartheta(x)</math>及第二函數<math>\psi(x)</math>有以下的上界：<ref>{{Cite journal
  | last1 = Rosser
  | first1 = J. Barkley
  | author-link1 = 
  | last2 = Schoenfeld
  | first2 = Lowell
  | author-link2 = 
  | title = Approximate formulas for some functions of prime numbers.
  | journal = Illinois J. Math.
  | year = 1962
  | volume = 6
  | pages = 64–94
  | url = http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807
  | access-date = 2023-12-07
  | archive-date = 2016-08-18
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20160818073831/http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm%2F1255631807
  | dead-url = no
  }}</ref> {{ref|Dusart2010}} 

:<math>\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}</math>

對於1.03883這常數的解釋，可見{{OEIS2C|id=A206431}}的說明。

==等式==
1895年，[[漢斯·馮·曼戈爾特 (數學家)|漢斯·馮·曼戈爾特]]證明了{{ref|Dav104}}<math>\psi(x)</math>有以下作為[[黎曼ζ函數]]非平凡零點和的{{link-en|L函數的解析解|Explicit_formulae_(L-function)|解析解}}：

:<math>\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).</math>

其中{{math|{{sfrac|''ζ{{prime}}&thinsp;''(0)|''ζ''&thinsp;(0)}}}}的數值為{{math|log(2π)}}、{{mvar|ρ}}遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而{{math|''ψ''<sub>0</sub>}}是一個與{{mvar|ψ}}類似的函數，但差別是其在跳躍[[不連續點]]（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

:<math>\psi_0(x) 
= \frac{1}{2}\!\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right)
=\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]
\psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math>

就[[自然對數]]的[[泰勒展開式]]而言，解析解的最後一項可理解為{{math|{{sfrac|''x<sup>ω</sup>''|''ω''}}}}對黎曼ζ函數平凡零點{{math|''ω'' {{=}} −2, −4, −6, ...}}的求和。也就是說，

:<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).</math>

類似地，此公式第一項{{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''x''<sup>1</sup>|1}}}}對應到黎曼ζ函數在1的單純[[極點 (複分析)|極點]]。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

==性質==
一個由[[埃哈德·施密特]]證明的結果指稱，對於某個特定的正常數{{mvar|K}}，存在有無限多個[[正整數]]{{mvar|x}}使得

:<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math>

同時有無限多個正整數{{mvar|x}}使得

:<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}.</math>{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}}

使用[[大O符號|小{{mvar|o}}符號]]，可將上式重述為

:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).</math>

[[戈弗雷·哈罗德·哈代|哈代]]與[[約翰·恩瑟·李特爾伍德|李特爾伍德]]{{ref|Hard16}}證明了一個更強的結果，表述如下：

:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).</math>

也就是說有無限多的正整數{{mvar|x}}，使得<math>\psi(x)</math>與{{mvar|x}}之間的差的絕對值超過<math>\sqrt{x}\,\log\log\log x</math>。

==與質數階乘的關係==
切比雪夫第一函數也是{{mvar|x}}的[[質數階乘]]{{math|''x''&hairsp;#}}的對數：

:<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).</math>

這說明了質數階乘{{math|''x''&hairsp;#}}非病態地等於{{math|''e''<sup>(1&hairsp;&hairsp;+&thinsp;''o''(1))''x''</sup>}}，其中{{mvar|o}}是小{{mvar|o}}符號（見[[大O符號]]一文的說明），而這點與質數定理共同確立了{{math|''p''<sub>''n''</sub>&hairsp;#}}的非病態行為。

==與質數計數函數間的關係==
切比雪夫函數可透過下式與與[[質數計數函數]]發生關係。定義

:<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.</math>

那麼有

:<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.</math>

從{{math|Π}}到[[質數計數函數]]{{mvar|π}}間的轉換可由下式表示：

:<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots</math>

由於很明顯地，有{{math|''π''&hairsp;(''x'') ≤ ''x''}}之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

:<math>\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).</math>

==黎曼猜想==
[[黎曼猜想]]指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為{{sfrac|1|2}}。在這種狀況下，有{{math|{{abs|''x''<sup>&hairsp;''ρ''</sup>}} {{=}} {{sqrt|''x''}}}}，且可證明說

:<math>\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).</math>

由上式可推得

:<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).</math>

==平滑化函數==
<!--[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|平滑化切比雪夫函數與{{math|{{sfrac|''x''<sup>&hairsp;2</sup>|2}}}}之間在{{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}時的差。]]-->

'''平滑化切比雪夫函數'''定義如下：

:<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math>

顯然有<math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>

==參考資料==
<references/>
* {{note|Dusart2010}} {{link-en|Pierre Dusart|}}, "Estimates of some functions over primes without R.H.". {{arxiv|1002.0442}}
* {{note|Dusart1999}} Pierre Dusart, "Sharper bounds for {{mvar|ψ}}, {{mvar|θ}}, {{mvar|π}}, {{math|''p''<sub>''k''</sub>}}", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges.  An abbreviated version appeared as "The {{math|''k''}}th prime is greater than {{math|''k''(log ''k'' + log log ''k'' − 1)}} for {{math|''k'' ≥ 2}}", ''Mathematics of Computation'', Vol. 68, No. 225 (1999), pp.&nbsp;411&ndash;415.
* {{note|Sch03}}Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", ''Mathematische Annalen'', '''57''' (1903), pp.&nbsp;195&ndash;204.
* {{note|Hard16}}G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", ''Acta Mathematica'', '''41''' (1916) pp.&nbsp;119&ndash;196.
* {{note|Dav104}}{{link-en|Harold Davenport|Harold Davenport|Davenport, Harold}} (2000). 可見於《''[https://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC&pg=PA104 Multiplicative Number Theory] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC&pg=PA104 |date=20231208022134 }}''》一書。 Springer.  p.&nbsp;104. {{isbn|0-387-95097-4}}. Google Book Search.

==額外補充==
* {{Citation
| last=Apostol
| first=Tom M.
| author-link=Tom M. Apostol
| title=Introduction to analytic number theory
| publisher=Springer-Verlag
| location=New York-Heidelberg
| series=Undergraduate Texts in Mathematics
| isbn=978-0-387-90163-3
| mr = 0434929 | zbl = 0335.10001 
| year=1976}}

==外部連結==
* {{mathworld|urlname=ChebyshevFunctions|title=Chebyshev functions}}
* {{planetmathref| urlname=MangoldtSummatoryFunction| title=Mangoldt summatory function}}
* {{planetmathref| urlname=ChebyshevFunctions| title=Chebyshev functions}}
* [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula] {{Wayback|url=http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html |date=20161009185109 }}, with images and movies

[[Category:算術函數]]