查看“︁分離變數法”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:變數;zh-hans:变量;zh:换元;zh-tw:代換}}
{{微積分學}}
[[數學]]上，'''分離變數法'''是一種解析[[常微分方程]]或[[偏微分方程]]的方法。使用這方法，可以藉[[代數]]來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的[[代數和]]等於零。

==常微分方程==
{{main|可分离变量的微分方程}}
假若，一個常微分方程可以寫為
:<math>\frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))]</math> 。
{{clear}}
設定變數 <math>y = f(x)</math> 。那麼，
:<math>\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)</math> ．<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

只要是 <math>h(y)\ne 0</math> ，就可以將方程式兩邊都除以 <math>h(y)</math> ，再都乘以 <math>dx</math> ：
:<math>{dy \over h(y)} = {g(x)dx}</math> 。

這樣，可以將兩個變數 <math>x</math> ，<math>y</math> 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 <math>k</math> 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；
:<math>\int{dy \over h(y)} = \int{g(x)dx}=k</math> 。

===第二種方法===
有些不喜歡用{{link-en|萊布尼茨標記|Leibniz's notation}}的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為
:<math>\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)</math> 。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 <math>x</math> 積分公式的兩邊，可以得到
:<math>\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

應用[[换元积分法]]，
:<math>\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx </math> 。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 <math>\frac{dy}{dx}</math> 當做可分的[[分數|分式]]看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在[[#實例 (II)|實例 (II)]]的解析裏會有更詳細的解釋，

===實例 (I)===
常微分方程式 <math>\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x))</math> 可以寫為
:<math>\frac{dy}{dx}=y(1-y)</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

其中，<math>y=f(x)</math> 。

設定 <math>g(x)=1</math> ，<math>h(y)=y(1 - y)</math> 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則
:<math>\frac{dy}{y(1 - y)}=dx</math> 。

變數 <math>x</math> ，<math>y</math> 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，
:<math>\int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx</math> 。

積分的結果是
:<math>\ln |y| - \ln |1 - y|=x+C</math> ；

其中，<math>C</math> 是個[[積分常數]]。稍加運算，則可得
:<math>y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}</math> 。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 <math>\frac{dy}{dx}</math> 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 <math>B</math> 的正值與負值。而當 <math>y=1</math> 時，<math>B=0</math> ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 <math>y</math> 跟 <math>(1 - y)</math> ，必須檢查兩個函數 <math>y(x) = 0</math> 與 <math>y(x) = 1</math> 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱{{link-en|奇異解|singular solution}} 。

===實例 (II)===
人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達
: <math>\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)</math> ；

其中，<math>P</math> 是人口數值函數，<math>t</math> 是時間參數， <math>k</math> 是成長的速率，<math>K</math> 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以<math>P\left(1-\frac{P}{K}\right)</math> ．再隨著時間 <math>t</math> 積分，
:<math>\int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt</math> 。

應用[[换元积分法]]，
:<math>\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt</math> 。

稍微運算，則可得
:<math>P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}</math> ；

其中，<math>A</math> 是常數。

==偏微分方程==
{{main|可分離變數的偏微分方程}}
給予一個 <math>n</math> 元函數 <math> F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)</math> 的[[偏微分方程]]，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組[[常微分方程]]，可以猜想一個解答；解答的形式為
:<math> F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) </math> ，

或者
:<math> F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n) </math> 。

時常，對於每一個自變量 <math>x_i</math> ，都會伴隨著一個'''分離常數'''。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為[[可分偏微分方程]] ({{lang|en|separable partial differential equation}})。

===實例 (III)===
假若，函數 <math>F(x,\ y,\ z)</math> 的偏微分方程為
: <math> \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0</math> 。

猜想解答為
:<math> F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)</math> 。

那麼，
:<math> \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0 </math> 。

因為 <math>X(x)</math> 只含有 <math>x</math> 、<math>Y(y)</math> 只含有 <math>y</math> 、<math>Z(z)</math> 只含有 <math>z</math> ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：
:<math>\frac{dX}{dx} = c_1</math> 、
:<math>\frac{dY}{dy} = c_2</math> 、
:<math>\frac{dZ}{dz} = c_3</math> ；

其中，<math> c_1,\ c_2,\ c_3</math> 都是常數，<math> c_1 + c_2 + c_3 = 0</math> 。

偏微分方程的答案為
:<math> F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4</math> ；

其中，<math>c_4</math> 是常數。

===實例 (IV) ===
思考一個典型的偏微分方程，
: <math>\nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0</math> 。

首先，猜想答案的形式為
:<math> v = X(x)Y(y)</math> 。

代入偏微分方程，
: <math> {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0</math> 。

或者，用單撇號標記，
:<math> X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0</math> 。

將方程式的兩邊除以 <math>X(x)Y(y)</math> ，則可得
:<math>{X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}</math> 。
由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 <math>k</math>  ：
:<math> {X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}</math> 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：
:<math>X''(x) - kX(x)=0</math> 、
:<math>Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0</math> 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性[[微分方程]]。假若，<math>k < 0<\lambda+k</math> ，則這兩個常微分方程都是用來表達[[諧振子|諧振問題]]的方程式。解答為
:<math>X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)</math> ，
:<math>Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)</math> ；

其中，<math>A_x,\ A_y</math> 是振幅常數，<math>B_x,\ B_y</math> 是相位常數。這些常數可以由[[邊界條件]]求得。

==參閱==
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#哈密頓-雅可比方程式|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
*[[哈密頓-雅可比方程]]
*[[亥姆霍茲方程]]

==參考文獻==
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. {{ISBN|1-58488-299-9}}。

[[Category:微分方程|F]]
[[Category:偏微分方程|F]]