查看“︁分母有理化”︁的源代码

'''分母有理化'''，简称'''有理化'''，指的是将该原为[[无理数]]的分母化为[[有理数]]的过程，也就是将分母中的[[根号]]化去。

有理化后通常方便运算，有理化的过程可能會影響分子，但分子及分母的比例不變。

==单项式==
应用一般根号运算：

<math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{ \sqrt[n]{ a^{n-1} } }{a}</math>

==二项式==
;应用[[平方差]]公式：

<math>\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt{a}-b}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}</math>

;应用[[立方和]]、[[立方差]]公式：

<math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}+b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}b+b^2}{a+b^3}</math>

<math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}-b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}b+b^2}{a-b^3}</math>

==多项式==
===逐项有理化===
<math>\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{a-b-c^2-2c \sqrt{b}}</math><ref>{{cite web|title=分母有理化与分子有理化|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HCSF199602021.htm|accessdate=2013-10-10|archive-date=2019-06-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190603044156/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HCSF199602021.htm|dead-url=no}}</ref>

===辗转相除法===
设<math>x=\sqrt[3]{2}</math>有理化<math>\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}</math>

<math>(x^3-2)u(x)+(1+2x+3x^2)v(x)=1</math>

<math>u(x)=\frac{-1}{89}(50+3x),v(x)=\frac{1}{89}(-11+16x+x^2)</math>

<math>\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}=v(\sqrt[3]{2})=\frac{1}{89}(-11+16\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})</math><ref name='js'>{{cite book|title=近世代数（第二版）|author=韩士安 林磊}}</ref>
===待定系数法=== 
<math>x^3=2x^2+3x+4</math>，求<math>\frac{1}{ 3 + 2x + x^2 }</math>

设<math>(3+2x+x^2)(a+bx+cx^2)=1</math>
   
<math>
\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3 & x^4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 0\\1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 4\\1 & 2 & 6\\0 & 1 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
</math> 

<math>
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=
   
\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
   
=\frac{1}{22} \begin{pmatrix}10\\-6\\1\end{pmatrix}
</math>
   
<math>\frac{1}{ x^2 + 2x + 3 }=\frac{ x^2 - 6x +10 }{22}</math><ref name='js'/>

==参见==
*[[辗转相除法]]

==参考资料==
{{Portal|数学}}
{{reflist}}

[[分类:初等代数]]