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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在[[抽象代數]]中，'''分式環'''或'''分式域'''是包含一個[[整環]]的最小[[域 (數學)|域]]，典型的例子是[[有理數]]域之於[[整數]]環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作'''全分式環'''。

分式環有時也被稱為'''商域'''，但此用語易與[[商環]]混淆。

== 構造 ==
分式環是[[局部化]]的一個簡單特例。以下設 <math>R</math> 為一個[[整環]]，而 <math>S := R - \{0\}</math>。

在集合 <math>R \times S</math> 上定義下述[[等價關係]] <math>\sim</math>：
: <math>(r,s) \sim (r',s') \iff  rs' - r's = 0</math>

等價類 <math>[r,s]</math> 可以想成「分式」 <math>r/s</math>，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 <math>(R \times S)/\sim</math> 上定義加法與乘法為：
: <math>[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss'] </math>
: <math>[r,s] [r',s'] = [rr',ss']</math>

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 <math>R \rightarrow (R \times S)/\sim</math>，定義為 <math>r \mapsto [r,1]</math>；這是一個[[單射]]。於是可定義分式環 <math>T(R) :=  (R \times S)/\sim</math>，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 <math>T(R)</math> 裡的元素寫作分式 <math>r/s</math>。

== 泛性質 ==
整環 <math>R</math> 的分式環 <math>K(R)</math> 及其自然環同態 <math>R \rightarrow K(R)</math> 滿足以下的[[泛性質]]：

: 對任何環 <math>T</math> 及環同態 <math>\phi: R \rightarrow T</math>，若 <math>R-\{0\}</math> 中的元素在 <math>\phi</math> 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 <math>\psi: K(R) \rightarrow T</math>，使得 <math>\phi</math> 是 <math>R \rightarrow K(R)</math> 與 <math>\psi</math> 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 <math>(K, \phi: R \rightarrow T)</math> 若使得 <math>K-\{0\}</math> 中的元素在 <math>\phi</math> 下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 <math>K</math> 必與 <math>T(R)</math> 同構。

== 例子 ==
* 有理數域 <math>\mathbb{Q}</math> 是整數環 <math>\mathbb{Z}</math> 的分式環。
* [[有理函數]]域是[[多項式]]環的分式環
* [[代數數]]域是[[代數整數]]環的分式環。
* 在一個連通[[複流形]]上，[[亞純函數]]域是[[全純函數]]環的分式環。

== 推廣 ==
{{further|局部化}}
對於一般的交換環 <math>R</math>（容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math> 為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 <math>S</math> 為 <math>R</math> 中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 <math>T(R) := S^{-1}R</math>，此時 <math>T(R)</math> 常被稱作 <math>R</math> 的'''全分式環'''。

{{ModernAlgebra}}

[[Category:抽象代數|F]]
[[Category:環論|F]]
[[Category:交換代數|F]]