查看“︁函數極限”︁的源代码

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{{otheruse|极限}}
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
{|class="wikitable" style="width:100%; margin:0px;"
!<math>x</math>!!<math>\frac{\sin x}{x}</math>
|-
|1||0.841471...
|-
|0.1||0.998334...
|-
|0.01||0.999983...
|}
<div class="thumbcaption">
[[file:Sinx-divided-by-x-figure.jpg|thumb|250px|上表所示函數的圖形，請注意在<math>x=0</math>處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。]]
儘管函數<math>\frac{\sin x}{x}</math>的定義域中不包括“0”，但當<math>x</math>無限接近於零時，<math>\frac{\sin x}{x}</math>就無限接近於 1，換句話說，<math>x</math>接近於零時，<math>\frac{\sin x}{x}</math>的極限是 1。
</div>
</div>
</div>
在[[數學]]中，'''函數極限'''（{{lang-en|Limit of a function}}）是[[微積分]]的一個基本概念。它描述[[函數]]在接近某一給定自變量時的特徵。函數 <math>f</math> 於 <math>a</math> 的極限為 <math>L</math> ，直觀上意為當 <math>x</math> 無限接近 <math>a</math> 時，<math>f(x)</math> 便無限接近 <math>L</math> 。

==正式定義==

=== 動機 ===
如果取 <math>\delta</math> 為＂ <math>x</math> 與 <math>a</math> 差距的上限＂；類似地，取 <math>\epsilon</math> 為＂ <math>f(x)</math> 與 <math>L</math>  差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

: 若對所有的 <math>\delta >0</math> ，存在 <math>0 < \epsilon \leq \delta</math>，使得對所有的 <math>x \in D_f</math> ，只要 <math>0<\left|x-a\right|<\delta</math> 就有 <math>\left|f(x)-L\right|<\epsilon</math> 

其中 <math>\epsilon \leq \delta</math> 是要確保 <math>\delta</math> 越來越小時， <math>\epsilon</math> 也會越來越小； <math>0<\left|x-a\right|<\delta</math> 是為了凸顯 <math>x</math> 是逼近而非等於 <math>a</math> ，但對應的 <math>f(x)</math> 是可以等於 <math>L</math> 的。

但對於[[实函数]] <math>f(x) = x^2</math> 逼近 <math>a = 0</math> 時，考慮到 <math>\delta \geq 1</math> 的部分；在 <math>{\left|x-0\right|}^2<\delta^2 </math> 下是沒有這樣的 <math>\epsilon</math> 使得 <math>0 < \epsilon \leq \delta</math> 且 <math>\left|x^2-0\right|<\epsilon</math> 的，但數值上 <math>f(x) = x^2</math> 的確在 <math>a = 0</math> 時很靠近 <math>0</math> ，也就是 <math>\epsilon \leq \delta</math> 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 <math>x</math> 的變化去限制 <math>f(x)</math> 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 <math>\epsilon</math> 出發，去找怎樣的 <math>x</math> 會讓 <math>f(x)</math> 與 <math>L</math>  的差距小於 <math>\epsilon</math> ，也就是從＂若對所有的 <math>\epsilon >0</math> 存在 <math>\delta >0</math> ＂出發的話，顯然上面 <math>f(x) = x^2</math>的例子只要取 <math>\delta = \sqrt{\epsilon}</math>  即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 <math>\epsilon</math> 和 <math>\delta</math> 的最小值為 <math>x</math> 與 <math>a</math> 差距的上限，還是會有 <math>\left|f(x)-L\right|<\epsilon</math> ，這樣就可以用 <math>\epsilon</math> 控制 <math>x</math> 的變化，而滿足＂ <math>x</math> 趨近於 <math>a</math> 時 <math>f(x)</math> 趨近於  <math>L</math> ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 <math>\delta >0</math>，都有 <math>x \in D_f</math> 使得 <math>0<\left|x-a\right|<\delta</math> ，所以定義函數極限之前必須要求 <math>a</math> 為 <math>D_f</math> 的[[极限点#度量空间的聚集点|极限点]]。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 <math>r >0</math> 使得 <math>f(x)</math>  在 <math>0<\left|x-a\right|<r</math> 都有定義，也就是存在 <math>a</math> 的'''去心鄰域'''使 <math>f(x)</math> 都有定義，這樣的話 <math>a</math> 會自動成為 <math>D_f</math> 的極限點。

===自變量趨於有限值時函數的極限===
<math>f</math> 為[[实函数]]， <math>a\in\mathbb{R}</math> 為 <math>D_f</math> 的極限點且 <math>L\in\mathbb{R}</math> ，若＂'''對所有的<math>\epsilon >0</math>，存在<math>\delta >0</math>，使得對所有的 <math>x \in D_f</math> 只要 <math>0<\left|x-a\right|<\delta</math> 就有''' <math>\left|f(x)-L\right|<\epsilon</math> ＂，或以正式的[[一阶逻辑#量詞的簡寫|邏輯符號]]表述為<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:60%;">
<math>(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)
[\,
(\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,)
\Rightarrow
(\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)
\,]</math>
</div>則以 <math>\lim_{x\to a}f(x)= L</math> 表示，稱 <math>L</math> 為實函數 <math>f</math>  於 <math>a</math> 的極限。 

===自變量趨於無窮大時函數的極限===
由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 <math>D_f</math> 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 <math>\delta >0</math> 存在 <math>x \in D_f</math> 使得 <math>x > \delta</math>  ＂。也就是直觀上可以用定義域 <math>D_f</math> 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，<math>L\in\mathbb{R}</math>，且若＂'''對所有 <math>\epsilon >0</math>，存在 <math>\delta >0</math>，使得對所有的 <math>x \in D_f</math> 只要 <math>x > \delta</math> 時，有<math>\left|f(x)-L\right|<\epsilon</math>''' ＂，或以正式的邏輯符號表述為<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:60%;">
<math>(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)
[\,
(\, x > \delta \,)
\Rightarrow
(\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)
\,]</math>
</div>則稱 <math>L</math> 為實函數 <math>f</math> 於'''正無窮大'''（ <math>\infty</math> ）的極限，記作 <math>\lim_{x\to \infty}f(x)= L</math>

類似的，若假設＂對所有的 <math>\delta < 0</math> 存在 <math>x \in D_f</math> 使得 <math>x < \delta</math> ＂，那在這種條件下，<math>L\in\mathbb{R}</math>，且若＂'''對所有 <math>\epsilon >0</math>，存在 <math>\delta < 0</math>，使得對所有的 <math>x \in D_f</math> 只要 <math>x < \delta</math> 時，有<math>\left|f(x)-L\right|<\epsilon</math>''' ＂，或以正式的邏輯符號表述為<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:60%;">
<math>(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta < 0)(\forall x \in D_f)
[\,
(\, x < \delta \,)
\Rightarrow
(\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)
\,]</math>
</div>則稱 <math>L</math> 為實函數 <math>f</math> 於'''負無窮大（ <math>-\infty</math> ）'''的極限，記作<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)= L</math>

== 制限極限 ==
直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要[[函数#函數的限制及擴張|函數限制]]的極限（也就是縮小定義域後的極限）：<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:60%;">
'''定理'''

若 '''<math>A\cup B = D_f</math> 且 '''<math>a </math> 同時為 '''<math>A</math>''' 和 '''<math>B</math>''' 的[[极限点#度量空间的聚集点|极限点]]，則

: <math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math>

等價於

: <math>\lim_{x \to a} f|_A(x) = L</math> 且 <math>\lim_{x \to a} f|_B(x) = L</math></div>上述定理的證明只須注意到 <math>a </math> 也必為 <math>D_f</math> 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 '''<math>A\cup B = D_f</math> '''，還有對 <math>x \in A</math> 取 <math>\delta_A</math> 的和 <math>x \in B</math> 取的 <math>\delta_B</math> ，那只要取 <math>\delta</math> 為 <math>\delta_A</math> 和 <math>\delta_B</math> 的最小值，對所有 <math>x \in D_f</math> 就有 <math>(\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,)
\Rightarrow
(\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)</math> ；反過來由原函數 <math>f</math> 推出 <math>f|_A</math> 和 <math>f|_B</math> 的狀況是非常顯然的。

=== 左右極限 ===
若取

: <math>A = 
\big\{
x \in D_f
\,|\,
x \geq a
\big\}</math>
: <math>B = 
\big\{
x \in D_f
\,|\,
x \leq a
\big\}</math>

如果假設 <math>a </math> 同時為 '''<math>A</math>''' 和 '''<math>B</math>''' 的[[极限点#度量空间的聚集点|极限点]]，那 '''<math>A</math>''' 和 '''<math>B</math>''' 顯然符合上面定理的要求的，而這時

: <math>\lim_{x\to a}f|_A(x)=L</math>

這個表達式會被別稱為＂ <math>L</math> 是實函數 <math>f</math> 於 <math>a</math> 的'''右極限'''＂，也可以用 <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=L</math> 表示。

類似的

: <math>\lim_{x\to a}f|_B(x)=L</math>

這個表達式會被別稱為＂ <math>L</math> 是實函數 <math>f</math> 於 <math>a</math> 的'''左極限'''＂，也可以用 <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L</math> 表示。

==常用公式==

===有理函數===

以下公式中，<math>n>0, a>1</math>。

*<math>\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0</math>
*<math>\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty</math>
*<math>\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.</math>

===無理函數===

*<math>\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>

===三角函數===

*<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0</math>

===指數函數===
*<math>\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e</math>
*<math>\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 </math>
*<math>\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1</math>

===對數函數===
*<math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1</math>
*<math>\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty</math>
*<math>\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty</math>

== 參考 ==
<references />

[[Category:數學分析]]
[[Category:數學術語]]