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{{unreferenced|time=2016-06-09T04:59:42+00:00}}
'''函数方程'''是含有未知[[函数]]的[[方程]]。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。

==例子==

* 函数方程

::<math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
</math>

:的解是[[黎曼ζ函數]]。

* 函数方程

::<math>\Gamma(x)={\Gamma(x+1) \over x}\,\!</math>

:的解是[[伽玛函数]]。

* 函数方程

::<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!</math>

的解是[[伽玛函数]]。

* 更多例子：

::<math>f(x + y) = f(x)f(y), \,\!</math>的解是所有[[指数函数]]。

::<math>f(xy) = f(x) + f(y)\,\!</math>的解是所有[[对数函数]]。

::<math>f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!</math> ([[柯西函数方程]])

::<math>F(az) = aF(z)(1-(z))\,\!</math> (庞加莱方程)

::<math>f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!</math> (琴生)

::<math>g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y)\,\!</math> (达朗贝尔)

::<math>f(h(x)) = f(x) + 1\,\!</math>（{{le|阿贝尔方程|Abel equation}}）。

==解函数方程== 
函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程<math>f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2</math>。

设<math>x=y=0</math>：<math>f(0)^2=f(0)^2+f(0)^2</math>。所以<math>f(0)^2=0</math>，<math>f(0)=0</math>。

现在，设<math>y=-x</math>：

:<math>f(x-x)^2=f(x)^2+f(-x)^2</math>
:<math>f(0)^2=f(x)^2+f(-x)^2</math>
:<math>0=f(x)^2+f(-x)^2</math>

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零[[当且仅当]]两个数都为零，因此对于所有''x''，<math>f(x)^2=0</math>，所以<math>f(x)=0</math>是唯一的解。

==相關條目==
*[[貝爾曼方程]]
*[[动态规划]]
*[[隐函数]]
*{{le|函數方程 (L函數)|Functional equation (L-function)}}

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[[Category:函数]]