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{{NoteTA |G1=Math}}
[[File:HittingTimes1.png|thumb|right|布朗运动过程的三个路径，接触到上限则结束]]
'''击中时'''也称为'''命中时'''、'''首中时'''，是[[数学]]中[[随机过程]]研究裡出现的一个概念，表示一个随机过程首次接触到[[状态空间]]的某个[[子集]]的时间。在特定的例子中，也会被称为'''离时'''（'''脱离时间'''）或'''回时'''（'''首次回归时间'''）。

== 定义 ==
设<math>T</math>是一个有序的[[指标集]]，比如说是[[自然数]]的集合<math>\mathbb{N}</math>、非负[[实数]]集<math>\mathbb{R}^+ = [0,+\infty)</math>或者是这两者的子集。<math>T</math>中的一个元素<math>t \in T</math>可以被认为是一种记录[[时间]]的方式（离散或连续型）。给定一个概率空间<math>(\Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P})</math>，一个可测状态空间<math>S</math>，设<math>X : \, \, \Omega \times T \rightarrow S = \left( X_t \right)_{t\in T}</math>为一个随机过程，并设<math>A</math>为<math>S</math>中的一个[[测度|可测]]子集。那么，随机过程<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>首次接触子集<math>A</math>的击中时定义为以下的[[随机变量]]{{r|Durrett|page1=155}}：
:<math>\tau_{A}  \Omega \longrightarrow \overline{T}</math> 
:<math>\tau_{A} (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) \in A \}.</math> 

同样，可以定义<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>首次离开子集<math>A</math>的离时： 
:<math>\epsilon_{A} (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) \notin A \} =  \, \inf \{ t \in T \, | \,  X_{t} (\omega) \in A^c \} =  \tau_{A^c}. </math>  

可以看出离时实际上也是击中时的一种，表示首次接触到要研究的子集的[[补集]]的时间。很多时候，离时也会记为<math> \tau_{A} </math>，和击中时一样。

另外一种击中时是 <math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>后首次回到出发点<math>\{X_{0} (\omega)\}</math>的击中时，称为回时或首次回归时间： 
:<math>\tau_0 (\omega) := \, \, \inf \{ t \in T \, | \, X_{t} (\omega) = X_{0} (\omega) \}. </math>  

==例子==
*设<math>\left( W_t \right)_{t\in \mathbb{R}^+ }</math>为<math>\mathbb{R} </math>上标准的[[维纳过程|布朗运动过程]]，则对于任意（实数的）[[波莱尔集|波莱尔]]可测子集<math>A</math>，都可以定义首次接触<math>A</math>的击中时<math> \tau_{A}^W </math>，并且可以证明这样定义的击中时<math> \tau_{A}^W </math>都是停时。

*如果定义标准布朗运动<math>\left( W_t \right)_{t\in \mathbb{R}^+ }</math>首次离开区间<math>A_r = (-r, r)</math>的离时为<math> \epsilon_{r}^W = \tau_{A_r^c}^W </math>，那么这个离时也是停时，它的[[数学期望]]是：<math> \mathbb{E}(\epsilon_{r}^W) = r^2 </math>，[[方差]]是<math> \operatorname{Var}(\epsilon_{r}^W) = \frac23 r^4. </math>

==首发定理==
对于给定的概率空间，随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集<math>F</math>的击中时也称为<math>F</math>的首发时间（{{lang|fr|début}}）。首发定理说明，如果随机过程是[[循序可测过程|循序可测]]的，那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续[[适应过程]]和右连续适应过程。首发定理的证明用到了[[解析集]]的性质。首发定理需要概率空间是[[完备测度|完全概率空间]]。

首发定理的逆定理指出，所有定义在某个实数时间轴的[[滤波]]上的停时，都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地，存在一个适应的不增随机过程，其路径几乎总是左极限右连续，并且取值为0或1，使得子集<math>\{0\}</math>的击中时就是对应的停时。 

== 参见 ==
*[[停时]]

== 参考来源 ==
{{reflist
|refs=
<ref name="Durrett">{{en}}{{cite book | title=''Probability: theory and examples'',4th edition | publisher=Cambridge University Press | author=Rick Durrett | year=2000 | isbn=0521765390}}</ref> 
}}
* {{cite journal|last=Fischer|first=Tom|title=On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras|journal=Statistics and Probability Letters|year=2013|volume=83|issue=1|pages=345-349|doi=10.1016/j.spl.2012.09.024|url=http://dx.doi.org/10.1016/j.spl.2012.09.024}}

* {{cite book 
| last = Øksendal
| first = Bernt K.
| authorlink = Bernt Øksendal
| title = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications 
| edition = Sixth edition
| publisher=Springer
| location = Berlin 
| year = 2003 
| isbn = 3-540-04758-1
}}


[[Category:随机过程]]