查看“︁凹函数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
}}
{{about|英文为Concave function的函数|英文为Convex function的函数|凸函数}}

{{微積分學}}

'''凹函数'''（{{lang-en|Concave function}}）是指{{Le|下境圖|Hypograph (mathematics)}}{{notetag|圖像下方的點的集合}}为[[凸集]]的一类函数。

{{函数凹凸性注意事项}}

== 定義 ==
如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的''x''和''y''和[0,1]中的任意''t''有
:<math>f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).</math>
则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數''f'':''R''→''R''，在''x''和''y''之間的每一點''z''，在圖中的點(''z'', ''f''(''z'') )是在以點(''x'', ''f''(''x'') )和(''y'', ''f''(''y'') )連成的直線之上。

[[Image:ConcaveDef.png]]

== 性質 ==
如果一個可微函數<math>f</math>它的導數<math>f'</math>在某區間是單調遞減的，<math>f</math>就是凹的：一個凹函數的[[斜率]]單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零[[斜率]]的存在。）

如果一個[[二次可微]]的函數<math>f</math>，它的[[二階導數]]<math>f''(x)</math>是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數<math>f''(x)</math>是負值，圖像就會是凹的。

如果[[凸函數]]（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的[[極小值]]。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的[[極大值]]。

如果<math>f(x)</math>是二次可微的，那麼<math>f(x)</math>就是凹的[[若且唯若]]<math>f''(x)</math>是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當<math>f(x) = -x^4</math>。
如果<math>f</math>是凹的也是[[可微]]的，那麼
:<math>f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]</math>
一個在<math>\mathbb C</math>的[[連續函數]]是凹的若且唯若对于任意属于<math>\mathbb C</math>的''x''和''y''，有
:<math>f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2</math>

== 例子 ==
* 函數<math>f(x)=-x^2</math> 和 <math>f(x)=\sqrt{x}</math>都是凹函數因為它們的[[二階導數]]永遠都是一個負值。
* 任何[[線性]]函數<math>f(x)=ax+b</math>既是凸函數也是凹函數。
* 函數<math>f(x)=\sin(x)</math>在區間<math>[0, \pi]</math>是凹的。
* 函數<math>\log |B|</math>是一個凹函數，當中<math>|B|</math>是一個非负定[[矩陣]]的[[行列式]]。

==注释==
{{notefoot}}
== 参见 ==
* [[凸函数]]
[[Category:數學分析]]
[[Category:函数]]