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{{Unreferenced|time=2024-10-04T08:37:39+00:00}}
在[[数学]]中，'''凸共轭'''（{{Lang-en|convex conjugate}}）是[[勒让德变换]]的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation）'''，'''以[[阿德里安-马里·勒让德]]和威爾納·芬克爾命名。

==定义==
函数<math>f : X \rightarrow ( - \infty , + \infty ]</math>在[[扩展的实数轴]]上取值。

它的凸共轭定义为：<math>f^\star : X^* \rightarrow ( - \infty , + \infty ] : x^* \rightarrow \sup\{ \left \langle x^* , x \right \rangle - f(x) \mid x \in X \}</math>

这里，<math>X</math>表示实[[賦範向量空間]]，<math>X^*</math>表示<math>X</math>的[[对偶空间]]。

映射<math> \left \langle \cdot , \cdot \right \rangle :  X^*   \times X \rightarrow (- \infty , +\infty ]</math>表示一个二次型，满足：对于<math>X^*</math>（<math>X</math>）中任意非零元素<math>x^*</math>，总能在<math>X</math>（对应地，<math>X^*</math>）中找到一个元素<math>x</math>使得<math> \left \langle x^* , x \right \rangle = 0</math>。

==例子==

* [[仿射变换]]<math>f(x) = \left\langle a,x \right\rangle - b,\,
a \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}</math>；它的凸共轭是：
<math>
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} b,      & x^{*}   =  a
             \\ +\infty, & x^{*}  \ne a.
  \end{cases}
</math>
* [[幂函数]]<math>
f(x) = \frac{1}{p}|x|^p,\,1<p<\infty
</math>；它的凸共轭是：
<math>
f^\star\left(x^{*} \right)
= \frac{1}{q}|x^{*}|^q,\,1<q<\infty
</math> 这里 <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1.</math>
* [[绝对值]]变换<math>f(x) = \left| x \right|</math>；它的凸共轭是：
<math>
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} 0,      & \left|x^{*} \right| \le 1
             \\ \infty, & \left|x^{*} \right|  >  1.
  \end{cases}
</math>
* [[指数函数]]
<math>f(x)=\,\! e^x</math>；它的凸共轭是：
<math>
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} x^{*} \ln x^{*} - x^{*}      , & x^{*}  > 0
             \\ 0                            , & x^{*}  = 0
             \\ \infty                       , & x^{*}  < 0.
  \end{cases}
</math>

== 性质 ==

=== 逆序性 ===
如果<math>f \le g</math>，那么就有<math>g^* \ge f^*</math>。这里的<math>f \le g</math>指，对定义域中所有元素<math>x</math>，都有<math>f(x) \le g(x)</math>成立。

=== 半连续性与两次凸共轭 ===
函数<math>f</math>的凸共轭总具有半连续性，因此函数<math>f</math>的两次共轭<math>f^{**}</math>也具有半连续性。同时，<math>f^{**}</math>还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足<math>f^{**} \le f</math>。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合適的函数<math>f</math>， <math>f^{**} = f</math> 当且仅当<math>f</math>是半连续的凸函数。

=== Fenchel不等式 ===
<math>\left\langle p,x \right\rangle \le f(x) + f^*(p)</math> ， 这里<math>x \in X , p \in X^*</math>，<math>f^*</math>是<math>f</math>的凸共轭。

=== 凸性 ===
凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数<math>f_1,f_2</math>，<math>(0,1)</math>间任意实数<math>\lambda</math>，有：<math>\left((1-\lambda)f_0+\lambda f_1\right)^\star\le (1-\lambda)f_0^\star+ \lambda f_1^\star</math> 成立。

=== 最小值卷积 ===
对于两个函数''f''和''g''，它们的'''最小值卷积'''被定义为

:<math> \left(f \Box  g\right)(x) = \inf \left \{ f(x-y) + g(y) \, | \, y \in \mathbb{R}^n \right \}. </math>

如果 ''f''<sub>1</sub>, …, ''f''<sub>m</sub> 都是'''R'''<sup>''n''</sup>上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

:<math> \left( f_1 \Box \cdots \Box f_m \right)^{*} = f_1^{*} + \cdots + f_m^{*}. </math>

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的[[超图]]是这两个函数的[[超图]]的[[闵可夫斯基和]]

[[Category:凸分析]]
[[Category:对偶理论]]
[[Category:變換]]