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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:哈密尔顿–凯莱定理; zh-tw:凱萊–哈密頓定理;
|2 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在[[線性代數]]中，'''凱萊–哈密頓定理'''（{{Lang-en|Cayley–Hamilton theorem}}）（以數學家[[阿瑟·凱萊]]與[[威廉·卢云·哈密顿]]命名）表明每個佈於任何[[交換環]]上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設<math>A</math>為給定的<math>n \times n</math>矩陣，並設<math>I_n</math>為<math>n \times n</math>[[單位矩陣]]，則<math>A</math>的[[特徵多項式]]定義為：
:<math>p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)</math>

其中<math>\det</math>表[[行列式]]函數。凱萊–哈密頓定理斷言：
:<math>p(A)=O</math>

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的[[特徵多項式]]會被其[[極小多項式]]整除，這在尋找[[若尔当标准形]]時特別有用。

==例子==
舉例明之，考慮下述方陣：
:<math>A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}</math>

其特徵多項式為
:<math>p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2</math>

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：
:<math>A^2-5A-2I_2=O</math>

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：
:<math>A^2-5A-2I_2=O</math>
:<math>A^2=5A+2I_2</math>

例如，為了計算<math>A^4</math>，可以反覆利用上述關係式：
:<math>A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2</math>
:<math>A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A</math>
:<math>A^4=145A+54I_2</math>

或是，如果要計算<math>A^n</math>，也可以假設：
:<math>A^n=aA+bI</math>

然後，依照前面的特徵多項式<math>\lambda^2-5\lambda-2</math>之兩解<math>\lambda_1,\lambda_2</math>，代入後可以得到
:<math>\lambda_1^n=a\lambda_1+b</math>
:<math>\lambda_2^n=a\lambda_2+b</math>

然後解方程後求出<math>a,b</math>，便可得<math>A^n</math>。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算[[特徵向量]]的重要工具。

'''註'''：一般而言，若<math>n \times n</math>矩陣<math>A</math>可逆（即：<math>\det (A) \neq 0</math>），則<math>A^{-1}</math>可以寫成<math>A</math>的冪次和：特徵多項式有如下形式
:<math>p(\lambda)=\lambda^n-\operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det(A)</math>

將方程式<math>p(A)=0</math>同乘以<math>A^{-1}</math>，便得到
:<math>A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}-\operatorname{tr}(A)A^{n-2}+\cdots)</math>

==定理證明==
以下考慮佈於[[域 (數學)|域]]<math>k = \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為[[線性代數]]中[[拉普拉斯展開]]的推論。拉普拉斯展開可推出若<math>S</math>是<math>n \times n</math>矩陣，而<math>\operatorname{adj}(S)</math>表其[[伴隨矩陣]]，則
:<math>S\operatorname{adj}(S) = \det (S) I_n</math>

取<math>S = t I_n - A</math>，便得到<math>(t I_n - A) \operatorname{adj}(t I_n - A) = p_A(t) I_n</math>。此式對所有<math>t</math>皆成立，由於[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]域有無窮多元素，上式等式在[[多項式環]]<math>k[t]</math>內成立。

設<math>M := k^n</math>，矩陣<math>A</math>賦予<math>M</math>一個<math>k[t]</math>-[[模]]結構：<math>f(t) \cdot m = f(A)m</math>。考慮<math>k[t]</math>-模<math>M[t] := M \otimes_k k[t]</math>，我們有<math>k[t]</math>-模之間的「求值態射」：
:<math>e_A: M[t] \to M, \qquad M \otimes t^i \mapsto A^i m</math>

固定<math>m \in M</math>，對<math>M[t]</math>中的等式
:<math>(tI_n-A)\operatorname{adj}(tI_n-A) \,m = p_A(t) m</math>

右側取<math>e_A</math>後得到<math>p_A(A)m</math>，左側取<math>e_A</math>後得到<math>(A-A) \cdot (\cdots) = 0</math>。明所欲證。

'''另外一个简单的证明'''：<br />
令：
:<math>B=\mbox{adj}(tI_n-A)</math>
由:
:<math>S\operatorname{adj}(S) = \det (S) I_n</math>
得：
:<math>(t I_n - A)B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n</math>
:<math>
\begin{align}
p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\
&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i  \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1}  B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i  \\
&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1}  t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0
\end{align}
</math>
:<math>p(t)I_n=\det(t I_n - A)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n</math>
因两多项式，他们的对应项系数相等得：
:<math>B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - AB_i = c_i I_n\quad \text{for }1 \leq i \leq n-1, \qquad -A B_0 = c_0 I_n~</math>
在等式两边t的i次项系数分别乘以''A''<sup>''i''</sup>, 并将等式左右两边分别相加并合项得：
:<math>O=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n= p(A)</math>
得证。

==抽象化與推廣==
前述證明用到係數在<math>k[t]</math>的矩陣的[[克萊姆法則]]，事實上該法則可施於任何係數在[[交換環]]上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環<math>R</math>上的任何有限生成自由模<math>M</math>（向量空間是特例）。[[中山正引理]]的一種證明就用到這個技巧。

==外部連結==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7308 PlanetMath 上的證明]{{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7308 |date=20111201070945 }}

[[Category:线性代数定理|K]]
[[Category:矩陣論|K]]