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{{about|马尔可夫过程理论的命题|最大化几何增长期望的命题|凯利公式}}

在[[概率论|概率论中]]，'''凯利引理'''是指，对于平稳[[连续时间马尔科夫链|连续时间马尔可夫链]]，由时间反演所定义的过程与正向时间的过程具有相同的平稳分布。 <ref name="bou">{{Cite book|page=222|title=Queueing Networks: A Fundamental Approach|first=Richard J.|last=Boucherie|first2=N. M.|last2=van Dijk|publisher=Springer|year=2011|isbn=144196472X}}</ref>该定理以[[法蘭克·凱利|弗兰克·凯利]]的名字命名。 <ref>{{Cite book|page=22|title=Reversibility and Stochastic Networks|url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html|first=Frank P.|last=Kelly|authorlink=Frank P. Kelly|year=1979|publisher=J. Wiley|isbn=0471276014|access-date=2023-01-19|archive-date=2023-01-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20230119031733/http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html|dead-url=no}}</ref> <ref>{{Cite book|page=[https://archive.org/details/introductiontoqu0000walr/page/63 63] (Lemma 2.8.5)|title=An introduction to queueing networks|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000walr|first=Jean|last=Walrand|year=1988|publisher=Prentice Hall|isbn=013474487X}}</ref> <ref>{{Cite journal |last=Kelly |first=F. P. |author-link=Frank Kelly (mathematician) |year=1976 |title=Networks of Queues |journal=Advances in Applied Probability |volume=8 |issue=2 |page=416–432 |doi=10.2307/1425912 |jstor=1425912}}</ref> <ref>{{Cite book|first=S. R.|last=Asmussen|doi=10.1007/0-387-21525-5_2|title=Applied Probability and Queues|series=Stochastic Modelling and Applied Probability|volume=51|pages=39–59|year=2003|isbn=978-0-387-00211-8}}</ref>

== 定理陈述 ==
在状态空间<math>S</math>和[[轉移矩陣|转移矩阵]]<math>Q=(q_{ij})</math>的连续时间马尔可夫链，如果存在一组数<math>q_{ij}'</math>以及和为1的<math>\pi_i</math>满足<ref name="bou"/>

:: <math>\begin{align}
 \sum_{j \neq i} \pi_i q'_{ij} &= \sum_{j \neq i} q_{ij} \quad \forall i\in S\\
 \pi_i q_{ij} &= \pi_jq_{ji}' \quad \forall i,j \in S
\end{align}</math>

那么<math>q_{ij}'</math>是反演过程的转移概率，<math>\pi_i</math>是这两个过程的平稳分布。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:等候理論]]
[[Category:马尔可夫过程]]