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{{无来源|time=2022-4-24}}
两个正[[实数]]<math>x</math>和<math>y</math>的'''几何-调和平均数'''（{{lang-en|Geometric–harmonic mean}}）是一种[[二元]]平均数。

==定义==
首先计算''<math>x</math>''的''<math>y</math>''[[几何平均数]]，称其为<math>g_1</math>。然后计算''<math>x</math>''的''<math>y</math>''[[调和平均数]]，称其为<math>h_1</math>.
:<math>g_1 = \sqrt{xy}.</math>

:<math>h_{1} = \frac {{2xy}} {{x + y}}</math>

然后重复这个步骤，这样便得到了两个[[数列]](<math>g_n</math>)和(''<math>h_n</math>'')：
:<math>g_{n+1} = \sqrt{g_n h_n}.</math>

:<math>h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{g_n} + \frac{1}{h_n}}</math>

这两个数列[[极限|收敛]]于相同的数，这个数称为<math>x</math>和<math>y</math>的'''几何-调和平均数'''，记为<math>M(x,y)</math>，或<math>\mathrm{ghm}(x, y)</math>。

==性质==
几何-调和平均数<math>M(x,y)</math>介于<math>x</math>和<math>y</math>的几何平均数和调和平均数之间；并且也介于<math>x</math>和<math>y</math>之间。<math>M(x,y)</math>是[[齐次函数|齐次的]]，也就是对于<math>r>0</math>，有<math>M(rx,ry) = rM(x,y)</math>

几何-调和平均数<math>M(x,y)</math>和[[算术-几何平均数]]<math>AG(x,y)</math>之间具有以下关系：

:<math>M(x,y) = \frac{1}{AG(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}</math>

==参见==

* [[调和平均数]]
* [[几何平均数]]

[[Category:平均数]]
[[Category:特殊函数|G]]
[[Category:椭圆函数|G]]